Use séries binomiais para obter a série de Maclaurin de
a) . Estime o valor de com erro inferior a 0,1 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Maclaurin para a função usando séries binomiais. Além disso, vamos estimar o valor de com um erro inferior a 0,1. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin e como aplicá-la para calcular aproximações de funções.

Passo 2

A série de Maclaurin é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais centrados em . Para a função , a série de Maclaurin é dada por:
Isso significa que podemos escrever como uma soma de termos envolvendo potências ímpares de .

Passo 3

Vamos calcular os primeiros termos da série para estimar .
Para :
Então, o primeiro termo é .
Para :
Então, o segundo termo é .

Passo 4

Agora, substituímos nos termos que calculamos:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando os dois primeiros termos:
Como o próximo termo da série será ainda menor ( ), podemos parar aqui, pois a contribuição dos termos seguintes será insignificante para o nosso objetivo de erro inferior a 0,1.

Resposta

A estimativa de é aproximadamente 0,2013 com um erro inferior a 0,1.

Exercícios relacionados

a) Encontre a série de Maclaurin (série de Taylor centrada na origem) da função
a) Use a série de Maclaurin de para então deduzir como é a série de Taylor de em torno de .
Determine uma aproximação de com erro inferior a .
c) .