Use séries binomiais para obter a série de Maclaurin de
a)
. Estime o valor de
com erro inferior a 0,1 .
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Maclaurin para a função usando séries binomiais. Além disso, vamos estimar o valor de com um erro inferior a 0,1. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin e como aplicá-la para calcular aproximações de funções.
Passo 2
A série de Maclaurin é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais centrados em
. Para a função , a série de Maclaurin é dada por:
Isso significa que podemos escrever como uma soma de termos envolvendo potências ímpares de
.
Passo 3
Vamos calcular os primeiros termos da série para estimar .
Para
:
Então, o primeiro termo é
.
Para
:
Então, o segundo termo é
.
Passo 4
Agora, substituímos
nos termos que calculamos:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando os dois primeiros termos:
Como o próximo termo da série será ainda menor (
), podemos parar aqui, pois a contribuição dos termos seguintes será insignificante para o nosso objetivo de erro inferior a 0,1.
Resposta
A estimativa de é aproximadamente 0,2013 com um erro inferior a 0,1.
Exercícios relacionados
a) Encontre a série de Maclaurin (série de Taylor centrada na origem) da função
a) Use a série de Maclaurin de
para então deduzir como é a série de Taylor de
em torno de
.
Determine uma aproximação de
com erro inferior a
.
c)
.