Determine uma aproximação de integral0^3 / 10 raiz1+x^3 d x com erro inferior a 10^-10.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa aproximar a integral de raiz1 + x^3 de 0 até 310, e o erro dessa aproximação tem que ser menor que 10^-10. Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor para expandir a função raiz1 + x^3 em torno de x = 0 e integrar termo a termo. Isso vai nos permitir controlar o erro e garantir a precisão que a gente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de escrever uma função como uma soma infinita de termos, onde cada termo envolve potências de x multiplicadas por coeficientes específicos. Para a função raiz1 + x^3, vamos expandir isso em uma série de Taylor em torno de x = 0.

Passo 3

A fórmula geral da série de Taylor para raiz1 + u, onde u = x^3, é:
raiz1 + u = sumn=0^infty binom1/2n u^n
Onde binom1/2n são os coeficientes binomiais generalizados. Vamos substituir u por x^3:
raiz1 + x^3 = sumn=0^infty binom1/2n x^3n

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo de 0 até 310. A integral da série se torna:
integral0^3/10 raiz1 + x^3 , dx = sumn=0^infty binom1/2n integral0^3/10 x^3n , dx
Integrando x^3n, temos:
integral x^3n , dx = x^3n + 13n + 1
Então a integral fica:
sumn=0^infty binom1/2n (3/10)^3n + 13n + 1

Passo 5

Vamos calcular os primeiros termos da série até que a contribuição de termos adicionais seja menor que 10^-10. Isso garante que o erro total seja menor que 10^-10. Vamos calcular cada termo até que o próximo termo seja menor que 10^-10.

Passo 6

Calculando os termos:
Para n=0:
binom1/20 (3/10)^11 = 1 times 310 = 0,3
Para n=1:
binom1/21 (3/10)^44 = 12 times 8110000 div 4 = 8180000 approx 0,0010125
Continuamos calculando até que o termo seja menor que 10^-10.

Passo 7

Somando os termos calculados:
0,3 + 0,0010125 + termos muito pequenos approx 0,3010125
Como os termos seguintes são menores que 10^-10, podemos parar aqui.

Resposta

Aproximadamente, a integral integral0^3 / 10 raiz1+x^3 , dx é igual a 0,3010125 com erro inferior a 10^-10.

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