Determine uma aproximação de com erro inferior a .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa aproximar a integral de de 0 até , e o erro dessa aproximação tem que ser menor que . Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor para expandir a função em torno de e integrar termo a termo. Isso vai nos permitir controlar o erro e garantir a precisão que a gente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de escrever uma função como uma soma infinita de termos, onde cada termo envolve potências de multiplicadas por coeficientes específicos. Para a função , vamos expandir isso em uma série de Taylor em torno de .

Passo 3

A fórmula geral da série de Taylor para , onde , é:
Onde são os coeficientes binomiais generalizados. Vamos substituir por :

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo de 0 até . A integral da série se torna:
Integrando , temos:
Então a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular os primeiros termos da série até que a contribuição de termos adicionais seja menor que . Isso garante que o erro total seja menor que . Vamos calcular cada termo até que o próximo termo seja menor que .

Passo 6

Calculando os termos:
Para :
Para :
Continuamos calculando até que o termo seja menor que .

Passo 7

Somando os termos calculados:
Como os termos seguintes são menores que , podemos parar aqui.

Resposta

Aproximadamente, a integral é igual a com erro inferior a .

Exercícios relacionados

Use séries binomiais para obter a série de Maclaurin de
a) . Estime o valor de com erro inferior a 0,1 .
a) Encontre a série de Maclaurin (série de Taylor centrada na origem) da função
c) .
h) onde e .