Determine uma aproximação de
com erro inferior a
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa aproximar a integral de
de 0 até
, e o erro dessa aproximação tem que ser menor que
. Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor para expandir a função
em torno de
e integrar termo a termo. Isso vai nos permitir controlar o erro e garantir a precisão que a gente precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de escrever uma função como uma soma infinita de termos, onde cada termo envolve potências de
multiplicadas por coeficientes específicos. Para a função
, vamos expandir isso em uma série de Taylor em torno de
.
Passo 3
A fórmula geral da série de Taylor para
, onde
, é:
Onde
são os coeficientes binomiais generalizados. Vamos substituir
por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo de 0 até
. A integral da série se torna:
Integrando
, temos:
Então a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular os primeiros termos da série até que a contribuição de termos adicionais seja menor que
. Isso garante que o erro total seja menor que
. Vamos calcular cada termo até que o próximo termo seja menor que
.
Passo 6
Calculando os termos:
Para :
Para
Para
:
Continuamos calculando até que o termo seja menor que
.
Passo 7
Somando os termos calculados:
Como os termos seguintes são menores que
, podemos parar aqui.
Resposta
Aproximadamente, a integral
é igual a
com erro inferior a
.
Exercícios relacionados
Use séries binomiais para obter a série de Maclaurin de
a) . Estime o valor de
com erro inferior a 0,1 .
a)
a) Encontre a série de Maclaurin (série de Taylor centrada na origem) da função
c)
.
h)
onde
e
.