Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de f(x).
f(x) = x^2 arctan(x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin (que é um caso especial da série de Taylor centrada em 0) para a função . Isso envolve entender um pouco de séries de potências e como expandir funções usando essas séries. Vamos precisar usar a série de Maclaurin da função arctan e adaptar para o nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin da função . A série de Maclaurin para é:
Essa série é válida para .

Passo 3

Agora, na nossa função , precisamos entender o que significa . Geralmente, é interpretado como a função inversa de , que é a função tangente ( ). Porém, a série de Maclaurin da tangente é mais complicada e não é o que provavelmente se espera aqui.
Uma interpretação mais provável é que significa . Vamos seguir por esse caminho.

Passo 4

Então, nossa função fica:
Para encontrar a série de Maclaurin de , vamos expressar como uma série de potências. Sabemos que:
Então, a inversa disso pode ser aproximada usando uma série geométrica ou métodos de inversão de séries.

Passo 5

Vamos aproximar considerando os primeiros termos da série de :
Então,
Usando a série geométrica para , temos:

Passo 6

Multiplicando de volta, temos:
Agora, multiplicamos isso pela da função original:

Passo 7

Simplificando, temos:
Essa é a série de Maclaurin aproximada para .

Resposta

A série de Maclaurin para é aproximadamente:

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