Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin (que é um caso especial da série de Taylor centrada em 0) para a função
. Isso envolve entender um pouco de séries de potências e como expandir funções usando essas séries. Vamos precisar usar a série de Maclaurin da função arctan e adaptar para o nosso caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin da função
. A série de Maclaurin para
é:
Essa série é válida para
.
Passo 3
Agora, na nossa função
, precisamos entender o que significa
. Geralmente,
é interpretado como a função inversa de
, que é a função tangente (
). Porém, a série de Maclaurin da tangente é mais complicada e não é o que provavelmente se espera aqui.
Uma interpretação mais provável é que
significa
. Vamos seguir por esse caminho.
Passo 4
Então, nossa função fica:
Para encontrar a série de Maclaurin de
, vamos expressar
como uma série de potências. Sabemos que:
Então, a inversa disso pode ser aproximada usando uma série geométrica ou métodos de inversão de séries.
Passo 5
Vamos aproximar
considerando os primeiros termos da série de
:
Então,
Usando a série geométrica
para
, temos:
Passo 6
Multiplicando de volta, temos:
Agora, multiplicamos isso pela
da função original:
Passo 7
Simplificando, temos:
Essa é a série de Maclaurin aproximada para
.
Resposta
A série de Maclaurin para
é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Uma partícula move-se no espaço tridimensional com velocidade é
. Se a posição inicial da partícula no tempo
é
, qual é a posição da partícula quando
?
Demonstre que a série harmônica
diverge.
Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função
no ponto:
;
Invetigue o caráter das seguintes séries: