Uma partícula move-se no espaço tridimensional com velocidade é v(t) = t i + t^2 j + t^3 k. Se a posição inicial da partícula no tempo t = 0 é (1, 2, 3), qual é a posição da partícula quando t = 1 ?

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma partícula que se movimenta no espaço tridimensional com uma velocidade dada por . A posição inicial dessa partícula no tempo é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a posição da partícula quando . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente a integração da função velocidade para encontrar a posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a posição de uma partícula pode ser encontrada integrando sua função de velocidade em relação ao tempo. A fórmula geral para a posição é:
Aqui, é a posição inicial, e é a velocidade da partícula no tempo .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Sabemos que:
Então, a posição em será:

Passo 4

Vamos calcular a integral componente por componente.
Para a componente :
Para a componente :
Para a componente :

Passo 5

Agora, somamos cada resultado à posição inicial correspondente:

Passo 6

Vamos simplificar as frações:

Resposta

Então, a posição da partícula quando é:

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