Uma partícula move-se no espaço tridimensional com velocidade é
. Se a posição inicial da partícula no tempo
é
, qual é a posição da partícula quando
?
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma partícula que se movimenta no espaço tridimensional com uma velocidade dada por
. A posição inicial dessa partícula no tempo
é
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a posição da partícula quando
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente a integração da função velocidade para encontrar a posição.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a posição de uma partícula pode ser encontrada integrando sua função de velocidade em relação ao tempo. A fórmula geral para a posição
é:
Aqui,
é a posição inicial, e
é a velocidade da partícula no tempo
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Sabemos que:
Então, a posição em
será:
Passo 4
Vamos calcular a integral componente por componente.
Para a componente
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Passo 5
Agora, somamos cada resultado à posição inicial correspondente:
Passo 6
Vamos simplificar as frações:
Resposta
Então, a posição da partícula quando
é:
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Demonstre que a série harmônica
diverge.
Resolva o problema de valor inicial
Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de
.
Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função
no ponto:
;