Demonstre que a série harmônica sumn=1^infty 1n diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu o exercício de mostrar que a série harmônica diverge. Isso está relacionado ao estudo de sequências e séries em matemática, especificamente verificando se uma série converge ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma série divergir e usar alguns testes básicos de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a série harmônica. Ela é formada pela soma dos inversos dos números naturais:
sumn=1^infty 1n = 1 + 12 + 13 + 14 + cdots
Queremos mostrar que essa soma nunca chega a um número finito, ou seja, ela diverge.

Passo 3

Uma maneira simples de provar que a série diverge é analisar os somatórios parciais. Ou seja, vamos somar os primeiros termos e ver como essa soma se comporta conforme adicionamos mais termos.
Vamos agrupar os termos da seguinte forma:
1 &+ (12) &+ (13 + 14) &+ (15 + 16 + 17 + 18) &+ cdots

Passo 4

Observe cada grupo:
  • O primeiro termo é .
  • O segundo grupo é apenas .
  • No terceiro grupo, temos .
  • No quarto grupo, .
E assim por diante. Cada novo grupo que formamos tem uma soma igual ou maior que .

Passo 5

Se somarmos os grupos, teremos:
1 + 12 + 12 + 12 + cdots
Isso significa que a soma total é pelo menos:
1 + (12 + 12 + 12 + cdots)

Passo 6

Vemos que estamos adicionando infinitas vezes, o que resulta em uma soma que cresce sem limites. Portanto, a série harmônica não se aproxima de nenhum número finito.

Resposta

A série harmônica diverge, ou seja, não possui soma finita.

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