Demonstre que a série harmônica
diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu o exercício de mostrar que a série harmônica
diverge. Isso está relacionado ao estudo de sequências e séries em matemática, especificamente verificando se uma série converge ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma série divergir e usar alguns testes básicos de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a série harmônica. Ela é formada pela soma dos inversos dos números naturais:
Queremos mostrar que essa soma nunca chega a um número finito, ou seja, ela diverge.
Passo 3
Uma maneira simples de provar que a série diverge é analisar os somatórios parciais. Ou seja, vamos somar os primeiros termos e ver como essa soma se comporta conforme adicionamos mais termos.
Vamos agrupar os termos da seguinte forma:
Passo 4
Observe cada grupo:
- O primeiro termo é
. - O segundo grupo é apenas
. - No terceiro grupo, temos
. - No quarto grupo,
.
E assim por diante. Cada novo grupo que formamos tem uma soma igual ou maior que
.
Passo 5
Se somarmos os grupos, teremos:
Isso significa que a soma total é pelo menos:
Passo 6
Vemos que estamos adicionando
infinitas vezes, o que resulta em uma soma que cresce sem limites. Portanto, a série harmônica não se aproxima de nenhum número finito.
Resposta
A série harmônica
diverge, ou seja, não possui soma finita.
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma
©
©
Uma partícula move-se no espaço tridimensional com velocidade é
. Se a posição inicial da partícula no tempo
é
, qual é a posição da partícula quando
?
Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de
.