Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função
no ponto:
;
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que analisar o que o teste da derivada segunda pode nos dizer sobre a função
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e o teste da derivada segunda, que ajuda a classificar pontos críticos de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o ponto
é um ponto crítico da função. Um ponto crítico ocorre quando todas as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Como
e
, que são diferentes de zero, o ponto
não é um ponto crítico da função.
Passo 3
O teste da derivada segunda só é aplicável em pontos críticos, ou seja, pontos onde as derivadas parciais primeiras são zero. Já que
não é um ponto crítico, o teste da derivada segunda não fornece nenhuma informação sobre a natureza desse ponto para a função dada.
Resposta
O teste da derivada segunda não fornece nenhuma informação no ponto
para a função
, pois esse ponto não é um ponto crítico.
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.
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