Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3 no ponto: (-1, -1);

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que analisar o que o teste da derivada segunda pode nos dizer sobre a função no ponto . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e o teste da derivada segunda, que ajuda a classificar pontos críticos de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o ponto é um ponto crítico da função. Um ponto crítico ocorre quando todas as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Como e , que são diferentes de zero, o ponto não é um ponto crítico da função.

Passo 3

O teste da derivada segunda só é aplicável em pontos críticos, ou seja, pontos onde as derivadas parciais primeiras são zero. Já que não é um ponto crítico, o teste da derivada segunda não fornece nenhuma informação sobre a natureza desse ponto para a função dada.

Resposta

O teste da derivada segunda não fornece nenhuma informação no ponto para a função , pois esse ponto não é um ponto crítico.

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