Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
integral-pi^pi sin (m x) cos (n x) d x=0
Dica: use as identidades
sin a cos b & =12[sin (a+b)+sin (a-b)] cos a cos b & =12[cos (a+b)+cos (a-b)] sin a sin b & =12[cos (a-b)-cos (a+b)]

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa provar que a integral de sin(mx) cos(nx) de -pi a pi é igual a zero, onde m e n são inteiros positivos. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos. A identidade que vamos usar é:
sin a cos b = 12[sin(a + b) + sin(a - b)]
Aqui, vamos substituir a por mx e b por nx.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
sin(mx) cos(nx) = 12[sin((m + n)x) + sin((m - n)x)]

Passo 4

Agora, vamos substituir essa expressão na integral original:
integral-pi^pi sin(mx) cos(nx) , dx = 12 integral-pi^pi [sin((m + n)x) + sin((m - n)x)] , dx

Passo 5

A integral de uma soma é a soma das integrais. Então, vamos separar:
12 ( integral-pi^pi sin((m + n)x) , dx + integral-pi^pi sin((m - n)x) , dx )

Passo 6

Agora, precisamos lembrar que a integral de sin(kx) de -pi a pi é zero para qualquer inteiro k, porque a fun��ão seno é ímpar e o intervalo é simétrico em relação à origem.
Matematicamente:
integral-pi^pi sin(kx) , dx = 0

Passo 7

Aplicando isso às integrais que temos:
12 (0 + 0) = 0

Resposta

Portanto, mostramos que
integral-pi^pi sin(mx) cos(nx) , dx = 0

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