Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa provar que a integral de
de
a
é igual a zero, onde
e
são inteiros positivos. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos. A identidade que vamos usar é:
Aqui, vamos substituir
por
e
por
.
Passo 3
Aplicando a identidade, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir essa expressão na integral original:
Passo 5
A integral de uma soma é a soma das integrais. Então, vamos separar:
Passo 6
Agora, precisamos lembrar que a integral de
de
a
é zero para qualquer inteiro
, porque a fun��ão seno é ímpar e o intervalo é simétrico em relação à origem.
Matematicamente:
Passo 7
Aplicando isso às integrais que temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
Exercícios relacionados
A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno do eixo y
Encontre a série de Maclaurin de
usando as séries conhecidas.
;
(h)
.
(d)
.