Encontre uma série de poténcias para cos x^2 c indique o intervalo de convergència.i

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma série de potências para e indicar o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar a série de Taylor da função cosseno e fazer algumas substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função . A série de Taylor de centrada em 0 é:

Passo 3

Agora, queremos a série para . Para isso, substituímos x por x^2 na série de :

Passo 4

Por último, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série da função converge para todo número real x, ou seja, o intervalo de convergência é (-infinito, infinito). Como fizemos uma substituição de x por x^2, que é válida para qualquer x real, o intervalo de convergência da série de também será (-infinito, infinito).

Resposta

A série de potências para é:
E o intervalo de convergência é (-infinito, infinito).

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