Encontre uma série de poténcias para cos
c indique o intervalo de convergència.i
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma série de potências para
e indicar o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar a série de Taylor da função cosseno e fazer algumas substituições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função
. A série de Taylor de
centrada em 0 é:
Passo 3
Agora, queremos a série para
. Para isso, substituímos
por
na série de
:
Passo 4
Por último, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série da função
converge para todo número real
, ou seja, o intervalo de convergência é
. Como fizemos uma substituição de
por
, que é válida para qualquer
real, o intervalo de convergência da série de
também será
.
Resposta
A série de potências para
é:
E o intervalo de convergência é
.