Supondo que f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{L}+b_{n} \sin \frac{n \pi x}{L}\right), mostre a Identidade de Parseval para Séries de Fourier a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar a Identidade de Parseval para Séries de Fourier. Isso faz parte de um conteúdo sobre Séries de Fourier e análise de séries trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a expansão em séries de Fourier e a propriedade de ortogonalidade das funções seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a função
dada:
Queremos calcular
.
Passo 3
Vamos expandir
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo da expansão acima de
a
:
Passo 5
Vamos resolver cada integral:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Como as funções seno e cosseno são ortogonais a constante, a integral de
ou
multiplicado por
será zero:
- Terceiro termo:
Aqui, usamos a propriedade de ortogonalidade das funções seno e cosseno. Quando
, a integral será zero. Quando
:
Portanto, a soma se torna:
Resposta
Juntando tudo, temos:
Isso confirma a Identidade de Parseval para Séries de Fourier conforme solicitado!