Supondo que f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{L}+b_{n} \sin \frac{n \pi x}{L}\right), mostre a Identidade de Parseval para Séries de Fourier a seguir:
1L integral-L^L[f(x)]^2 d x=a02+sumn=1^infty(an^2+bn^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar a Identidade de Parseval para Séries de Fourier. Isso faz parte de um conteúdo sobre Séries de Fourier e análise de séries trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a expansão em séries de Fourier e a propriedade de ortogonalidade das funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a função f(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos n pi xL + bn sin n pi xL ) dada:
Queremos calcular .

Passo 3

Vamos expandir [f(x)]^2 = ( a02 )^2 + 2 cdot a02 cdot sumn=1^infty ( an cos n pi xL + bn sin n pi xL ) + ( sumn=1^infty ( an cos n pi xL + bn sin n pi xL ) )^2 :
[f(x)]^2 = a0^24 + a0 sumn=1^infty ( an cos n pi xL + bn sin n pi xL ) + sumn=1^infty summ=1^infty ( an cos n pi xL + bn sin n pi xL ) ( am cos m pi xL + bm sin m pi xL )
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo da expansão acima de 1L integral-L^L [f(x)]^2 dx = 1L integral-L^L a0^24 dx + 1L integral-L^L a0 sumn=1^infty ( an cos n pi xL + bn sin n pi xL ) dx + 1L integral-L^L sumn=1^infty summ=1^infty ( an cos n pi xL + bn sin n pi xL ) ( am cos m pi xL + bm sin m pi xL ) dx a :

Passo 5

Vamos resolver cada integral:
  1. Primeiro termo:
1L integral-L^L a0^24 dx = a0^24 cdot 2LL = a0^22
  1. Segundo termo:
Como as funções seno e cosseno são ortogonais a constante, a integral de 1L integral-L^L a0 sumn=1^infty ( an cos n pi xL + bn sin n pi xL ) dx = 0 ou 1L integral-L^L ( an^2 cos^2 n pi xL + bn^2 sin^2 n pi xL ) dx = an^2 + bn^2 multiplicado por sumn=1^infty (an^2 + bn^2) será zero:
  1. Terceiro termo:
Aqui, usamos a propriedade de ortogonalidade das funções seno e cosseno. Quando , a integral será zero. Quando :
Portanto, a soma se torna:

Resposta

Juntando tudo, temos:
1L integral-L^L [f(x)]^2 dx = a0^22 + sumn=1^infty ( an^2 + bn^2 )
Isso confirma a Identidade de Parseval para Séries de Fourier conforme solicitado!

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