Estime o erro envolvido quando se usa a aproximação
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estimar o erro que aparece quando usamos a aproximação
para valores de
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente séries de Taylor, que ajuda a aproximar funções e entender o quão boa é a aproximação que fizemos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos aproximando. Aqui, a função é
. A ideia é aproximar essa função por uma expressão mais simples,
, e verificar o quão distante essa aproximação está da função real quando
.
Passo 3
Para entender o erro da aproximação, usamos a fórmula do erro de Taylor. Quando aproximamos uma função por um polinômio, o erro é dado pelo termo que não incluímos na aproximação. No caso, estamos usando o polinômio de primeiro grau, então o erro
é
.
Passo 4
Vamos calcular esse erro:
Queremos estimar o valor absoluto desse erro, ou seja,
, para garantir que ele seja pequeno quando
.
Passo 5
Para estimar
, usamos o teorema do resto de Taylor. Para a aproximação de primeiro grau, o erro é limitado pelo segundo termo da expansão de Taylor. A fórmula geral para o erro é:
onde
é um valor máximo para a segunda derivada da função
no intervalo considerado.
Passo 6
Vamos calcular a segunda derivada de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Para
, o denominador
varia entre
e
, então
está entre aproximadamente
e
. Portanto, o valor absoluto de
atinge seu máximo quando
é o mais negativo, ou seja,
:
Então,
.
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula do erro com
e
:
Isso significa que o erro absoluto é, no máximo, aproximadamente
.
Resposta
O erro envolvido na aproximação
para
é, no máximo, cerca de
.