Estime o erro envolvido quando se usa a aproximação raiz(1 + x) aproximadamente 1 + x / 2 em |x| < 0.1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estimar o erro que aparece quando usamos a aproximação para valores de . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente séries de Taylor, que ajuda a aproximar funções e entender o quão boa é a aproximação que fizemos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos aproximando. Aqui, a função é . A ideia é aproximar essa função por uma expressão mais simples, , e verificar o quão distante essa aproximação está da função real quando .

Passo 3

Para entender o erro da aproximação, usamos a fórmula do erro de Taylor. Quando aproximamos uma função por um polinômio, o erro é dado pelo termo que não incluímos na aproximação. No caso, estamos usando o polinômio de primeiro grau, então o erro é .

Passo 4

Vamos calcular esse erro:
Queremos estimar o valor absoluto desse erro, ou seja, , para garantir que ele seja pequeno quando .

Passo 5

Para estimar , usamos o teorema do resto de Taylor. Para a aproximação de primeiro grau, o erro é limitado pelo segundo termo da expansão de Taylor. A fórmula geral para o erro é:
onde é um valor máximo para a segunda derivada da função no intervalo considerado.

Passo 6

Vamos calcular a segunda derivada de . A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Para , o denominador varia entre e , então está entre aproximadamente e . Portanto, o valor absoluto de atinge seu máximo quando é o mais negativo, ou seja, :
Então, .

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula do erro com e :
Isso significa que o erro absoluto é, no máximo, aproximadamente .

Resposta

O erro envolvido na aproximação para é, no máximo, cerca de .

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