Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau , com centro em , a função em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para estimar o erro ao usar um polinômio de Taylor de grau 4, , centrado em , para aproximar a função no ponto . Então, vamos usar conceitos de polinômios de Taylor e termos de resto para encontrar esse erro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de grau 4 para em é dado por:
Esse polinômio aproxima perto de 0.

Passo 3

Para estimar o erro dessa aproximação no ponto , usamos o termo de resto de Lagrange. A fórmula do resto é:
onde está entre 0 e , e é o grau do polinômio. Aqui, .

Passo 4

No caso da função , todas as derivadas são iguais a . Então, . Para estimar o erro máximo, consideramos que atinge seu valor máximo no intervalo de 0 a 0,5, que é .

Passo 5

Substituindo na fórmula do resto:
Calculando os valores:
Portanto:

Passo 6

Calculando numéricamente:
Então:

Resposta

O erro estimado ao usar para aproximar é, no máximo, aproximadamente .

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.
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.
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