Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau
, com centro em
, a função
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para estimar o erro ao usar um polinômio de Taylor de grau 4,
, centrado em
, para aproximar a função
no ponto
. Então, vamos usar conceitos de polinômios de Taylor e termos de resto para encontrar esse erro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de grau 4 para
em
é dado por:
Esse polinômio aproxima
perto de 0.
Passo 3
Para estimar o erro dessa aproximação no ponto
, usamos o termo de resto de Lagrange. A fórmula do resto é:
onde
está entre 0 e
, e
é o grau do polinômio. Aqui,
.
Passo 4
No caso da função
, todas as derivadas são iguais a
. Então,
. Para estimar o erro máximo, consideramos que
atinge seu valor máximo no intervalo de 0 a 0,5, que é
.
Passo 5
Substituindo na fórmula do resto:
Calculando os valores:
Portanto:
Passo 6
Calculando numéricamente:
Então:
Resposta
O erro estimado ao usar
para aproximar
é, no máximo, aproximadamente
.
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.
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.
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em
.
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