Estude a convergência das séries:
sumn=1^infty n^2e^2 n;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos estudar a convergência da série infinita sumn=1^infty n^2e^2 n. Isso envolve determinar se a soma dos termos dessa série tende a um valor finito quando n vai ao infinito. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma técnica eficaz para analisar séries com termos que envolvem funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

O Teste da Razão nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite da razão entre termos consecutivos. Vamos calcular:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an = n^2e^2 n.

Passo 3

Vamos calcular a razão an+1an:
an+1an = (n+1)^2e^2(n+1) cdot e^2nn^2 = (n+1)^2n^2 cdot 1e^2

Passo 4

Simplificamos a expressão:
an+1an = (1 + 1n)^2 cdot 1e^2

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (1 + 1n)^2 cdot 1e^2 = 1 cdot 1e^2 = 1e^2

Passo 6

Como L = 1e^2 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^2e^2 n converge.

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