Estude a convergência das séries:
;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos estudar a convergência da série infinita . Isso envolve determinar se a soma dos termos dessa série tende a um valor finito quando vai ao infinito. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma técnica eficaz para analisar séries com termos que envolvem funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

O Teste da Razão nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite da razão entre termos consecutivos. Vamos calcular:
Onde .

Passo 3

Vamos calcular a razão :

Passo 4

Simplificamos a expressão:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Encontre a série de potências que representa a função
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
, com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
$(b) ;
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
$(a) ;