Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
$(b) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a sequência é convergente ou divergente. Isso envolve entender um pouco sobre limites de sequências e séries alternadas. Vamos precisar usar conceitos de limites e comportamento de termos quando cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência . Vemos que ela tem dois componentes: , que faz os termos alternarem de sinal, e , que diminui conforme aumenta.

Passo 3

Para saber se a sequência é convergente, precisamos ver se ela se aproxima de um valor específico quando tende ao infinito. Aqui, o fator é o mais importante, pois ele determina o tamanho dos termos da sequência.

Passo 4

Calculamos o limite da sequência quando vai para o infinito:
Sabemos que tende a zero quando cresce, e o fato de os termos alternarem de sinal não afeta o limite, porque o valor absoluto está diminuindo para zero.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é zero.

Exercícios relacionados

Estude a convergência das séries:
;
Encontre a série de potências que representa a função
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
$(a) ;
Estude a convergência das séries:
e)