Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
$(b)
;
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a sequência
é convergente ou divergente. Isso envolve entender um pouco sobre limites de sequências e séries alternadas. Vamos precisar usar conceitos de limites e comportamento de termos quando
cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
. Vemos que ela tem dois componentes:
, que faz os termos alternarem de sinal, e
, que diminui conforme
aumenta.
Passo 3
Para saber se a sequência é convergente, precisamos ver se ela se aproxima de um valor específico quando
tende ao infinito. Aqui, o fator
é o mais importante, pois ele determina o tamanho dos termos da sequência.
Passo 4
Calculamos o limite da sequência quando
vai para o infinito:
Sabemos que
tende a zero quando
cresce, e o fato de os termos alternarem de sinal não afeta o limite, porque o valor absoluto está diminuindo para zero.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é zero.
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;
Encontre a série de potências que representa a função
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.
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$(a) ;
$(a)
Estude a convergência das séries:
e)
e)