Inverta a ordem de integração na integral dupla
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração em uma integral dupla. Isso significa que precisamos trocar a ordem de integração das variáveis
e
na integral dada. Para fazer isso, vamos entender os limites de integração atuais e reescrever a região de integração de forma que integremos primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração da integral original:
Aqui, a integração externa é em relação a
, indo de 11 até 3, e para cada
, a integração interna é em relação a
, indo de
até
. No entanto, os limites de
estão de 11 a 3, o que geralmente é escrito de forma crescente. Vamos reescrever os limites de
de 3 a 11 para facilitar a visualização:
Passo 3
Agora, precisamos entender a região de integração no plano
. Os limites atuais indicam que para cada
entre 3 e 11,
varia de
até
. Parece haver um equívoco aqui, j�� que os limites de
estão expressos em termos de
em ambos os extremos. Vamos verificar novamente os limites de integração.
Parece mais provável que a integral original devesse ser:
Isso faz mais sentido, pois os limites de
são expressos em termos de
.
Passo 4
Assumindo que a integral correta é:
Vamos desenhar a região de integração para entender melhor.
-
varia de 3 a 11. - Para cada
, varia de a .
Isso define uma região no plano
onde, para cada
,
está entre duas linhas:
e
.
Passo 5
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
e determinar os novos limites de
e
.
Observando os limites:
-
pode ser reescrito como . -
é a linha .
A interseção dessas linhas ocorre quando
, ou seja,
e
.
Então, o limite de
varia de onde? Vamos ver os extremos:
- Quando
, varia de até . - Quando
, varia de até .
No entanto, como as linhas se cruzam em
, precisamos dividir a região em duas partes:
- Para
de a , varia de até . - Para
de a , varia de até .
Passo 6
Agora, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida:
Resposta
A ordem de integração invertida fica: