Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x) = ln(3 + x), c = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor ou Maclaurin para a função centrada no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a expansão de Taylor para funções logarítmicas. Vamos precisar entender como expandir funções usando séries e determinar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série. A gente pode fatorar o 3 dentro do logaritmo:
Usando a propriedade dos logaritmos , temos:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte . A série de Maclaurin para é conhecida e dada por:
onde . No nosso caso, , então precisamos garantir que , ou seja, .

Passo 4

Substituindo na série de Maclaurin da função logarítmica, temos:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, voltamos à expressão original de :
Substituindo a série que encontramos:
Então, a série de Maclaurin para é:

Resposta

A série de Maclaurin para é:
Essa série converge para todos os valores de tais que .

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Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
f(x) = (x - 1) / (x + 1).
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x) = cos(x), c = pi / 4.