Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funções. Determine os valores de para os quais a série converge. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor ou Maclaurin para a função centrada no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a expansão de Taylor para funções logarítmicas. Vamos precisar entender como expandir funções usando séries e determinar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série. A gente pode fatorar o 3 dentro do logaritmo:
Usando a propriedade dos logaritmos , temos:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte . A série de Maclaurin para é conhecida e dada por:
onde . No nosso caso, , então precisamos garantir que , ou seja, .
Passo 4
Substituindo na série de Maclaurin da função logarítmica, temos:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, voltamos à expressão original de :
Substituindo a série que encontramos:
Então, a série de Maclaurin para é:
Resposta
A série de Maclaurin para é:
Essa série converge para todos os valores de tais que .