Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
x^prime=(ll1 & -5 1 & -3) x
x(0)=binom11

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (p.v.i.) onde queremos encontrar a solução de um sistema de equações diferenciais. A equação é dada por:
x^prime = 1 & -5 1 & -3 x
com a condição inicial 1 1.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores de matrizes, e a teoria de sistemas lineares de equações diferenciais. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz 1 & -5 1 & -3. Os autovalores são os valores de det(A - lambda I) = 0 que satisfazem a equação característica:
det(1 - lambda & -5 1 & -3 - lambda) = (1 - lambda)(-3 - lambda) - (-5)(1)
onde (1 - lambda)(-3 - lambda) + 5 = (-3)(1) - lambda(1) + 3lambda + lambda^2 + 5 = lambda^2 + 2lambda + 2 é a matriz identidade.
Vamos calcular o determinante:
lambda^2 + 2lambda + 2 = 0
Expandindo:
lambda = -2 pm raiz4 - 82 = -2 pm raiz-42 = -1 pm i
Portanto, a equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são complexos: e .

Passo 3

Agora que temos os autovalores complexos, podemos escrever a solução geral do sistema. Quando os autovalores são complexos x(t) = e^alpha t [ C1 cos(beta t) sin(beta t) + C2 -sin(beta t) cos(beta t) ] , a solução geral é:
x(t) = e^-t [ C1 cos t sin t + C2 -sin t cos t ]
No nosso caso, e , então:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Vamos aplicar a condição inicial 1 1 para encontrar as constantes x(0) = e^0 [ C1 cos 0 sin 0 + C2 -sin 0 cos 0 ] = C1 C2 e C1 C2 = 1 1 .
Primeiro, calculamos :
Comparando com a condição inicial, temos:
Então, e .

Passo 5

Agora podemos escrever a solução específica substituindo x(t) = e^-t [ cos t sin t + -sin t cos t ] e cos t - sin t sin t + cos t na expressão geral:
x(t) = e^-t cos t - sin t cos t + sin t
Vamos somar as matrizes dentro dos colchetes:
Portanto, a solução completa é:

Resposta

A solução do p.v.i. é:
x(t) = e^-t cos t - sin t cos t + sin t

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