Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (p.v.i.) onde queremos encontrar a solução de um sistema de equações diferenciais. A equação é dada por:
com a condição inicial
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores de matrizes, e a teoria de sistemas lineares de equações diferenciais. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
onde
é a matriz identidade.
Vamos calcular o determinante:
Expandindo:
Portanto, a equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são complexos:
e
.
Passo 3
Agora que temos os autovalores complexos, podemos escrever a solução geral do sistema. Quando os autovalores são complexos
, a solução geral é:
No nosso caso,
e
, então:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, calculamos
:
Comparando com a condição inicial, temos:
Então,
e
.
Passo 5
Agora podemos escrever a solução específica substituindo
e
na expressão geral:
Vamos somar as matrizes dentro dos colchetes:
Portanto, a solução completa é:
Resposta
A solução do p.v.i. é: