Calcule a distância do ponto P ao plano pi: P=(1,1,1) e pi: 2 x-y+2 z-3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância entre um ponto e um plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula de distância de um ponto a um plano. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação do plano e aplicar a fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. A distância D = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 de um ponto até um plano é dada por:
Essa fórmula calcula a distância perpendicular entre o ponto e o plano, garantindo a menor distância possível.

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes da equação do plano 2x - y + 2z - 3 = 0 . A equação do plano é:
a = 2, b = -1, c = 2, d = -3
Comparando com a forma geral , temos:

Passo 4

Em seguida, vamos identificar as coordenadas do ponto x0 = 1, y0 = 1, z0 = 1 . Dado , temos:

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
D = |2 cdot 1 + (-1) cdot 1 + 2 cdot 1 - 3|raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2

Passo 6

Vamos calcular o numerador primeiro:
2 cdot 1 + (-1) cdot 1 + 2 cdot 1 - 3 = 2 - 1 + 2 - 3 = 0
Então, o numerador da fração é .

Passo 7

Agora, calculamos o denominador:
raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3

Passo 8

Finalmente, substituímos os valores encontrados na fórmula:
D = 03 = 0

Resposta

A distância do ponto ao plano é unidades. Isso significa que o ponto está sobre o plano .

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