Identifique o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a cada equação dada a seguir.
y^2-4 x+6 y+17=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos encontrar todos os pontos que satisfazem a equação . Para isso, vamos reconhecer que essa é uma equação de segundo grau e vamos precisar manipular um pouquinho para descobrir que tipo de curva ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação colocando os termos com y^2 + 6y = 4x - 17 juntos:
Agora, vamos completar o quadrado para a parte que envolve o . Completar o quadrado é uma técnica que ajuda a transformar uma expressão quadrática em uma forma que facilita a identificação da curva geométrica.

Passo 3

Para completar o quadrado da expressão (62)^2 = 9 , a gente pega o coeficiente de y^2 + 6y + 9 = 4x - 17 + 9 , que é 6, divide por 2 e eleva ao quadrado:
(y + 3)^2 = 4x - 8
Então, adicionamos esse 9 aos dois lados da equação:
O que simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos organizar a equação para deixá-la bem clarinha:
(y + 3)^2 = 4(x - 2)
Essa é a forma padrão da equação de uma parábola que abre para a direita.

Passo 5

Na forma , é o vértice da parábola e indica a distância do vértice até o foco. No nosso caso, temos:
  • Vértice em
  • então , o que significa que a parábola abre 1 unidade para a direita.

Resposta

O conjunto dos pontos que satisfazem a equação forma uma parábola com vértice no ponto e que abre para a direita, descrita pela equação .

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