Identifique o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a cada equação dada a seguir.
x^2+y^2-2 x+6 y+6=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
x^2 + y^2 - 2x + 6y + 6 = 0
O que a gente precisa fazer aqui é identificar o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a forma padrão de uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da circunferência. A ideia é completar o quadrado para as variáveis x e y. Isso ajuda a transformar a equação geral em uma forma mais reconhecível.
Nossa equação inicial é:
x^2 + y^2 - 2x + 6y + 6 = 0
Vamos agrupar os termos de x e os de y:
(x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) = -6

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma dessas partes.
Para a parte de x:
x^2 - 2x
A gente pega o coeficiente de x, que é -2, divide por 2 e eleva ao quadrado:
(-22)^2 = 1
Então, adicionamos e subtraímos esse valor:
x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1
Fazendo o mesmo para a parte de y:
y^2 + 6y
Coeficiente de y é 6, então:
(62)^2 = 9
Adicionamos e subtraímos esse valor:
y^2 + 6y + 9 - 9 = (y + 3)^2 - 9

Passo 4

Substituindo de volta na equação original, temos:
(x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = -6
Agora, vamos simplificar:
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = -6
Adicionando 10 em ambos os lados:
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4

Passo 5

Pronto! Agora a equação está na forma padrão de uma circunferência:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde (h, k) é o centro e r é o raio.
Comparando com nossa equação:
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 2^2
Então, o centro é (1, -3) e o raio é 2.

Resposta

O conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equação dada forma uma circunferência com centro em (1, -3) e raio 2. Ou seja,
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4

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