Identifique o conjunto dos pontos
que satisfazem a cada equação dada a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
O que a gente precisa fazer aqui é identificar o conjunto de pontos
que satisfazem essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a forma padrão de uma circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da circunferência. A ideia é completar o quadrado para as variáveis
e
. Isso ajuda a transformar a equação geral em uma forma mais reconhecível.
Nossa equação inicial é:
Vamos agrupar os termos de
e os de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma dessas partes.
Para a parte de
:
A gente pega o coeficiente de
, que é
, divide por 2 e eleva ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor:
Fazendo o mesmo para a parte de
:
Coeficiente de
é
, então:
Adicionamos e subtraímos esse valor:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original, temos:
Agora, vamos simplificar:
Adicionando 10 em ambos os lados:
Passo 5
Pronto! Agora a equação está na forma padrão de uma circunferência:
Onde
é o centro e
é o raio.
Comparando com nossa equação:
Então, o centro é
e o raio é
.
Resposta
O conjunto dos pontos
que satisfazem a equação dada forma uma circunferência com centro em
e raio
. Ou seja,