Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica para a equação homogênea é:
Resolvendo para
:
As raízes são imaginárias, então a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o termo
está na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para encontrar a solução particular. Então, assumimos:
Onde
e
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver
e
.
Passo 6
Resolvendo as equações para
e
, encontramos:
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
, calculamos a derivada de
:
Avaliando em
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: