Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:
y'' + y = sen(x), y(0) = 2, y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica para a equação homogênea é:
Resolvendo para :
As raízes são imaginárias, então a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o termo está na solução homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular. Então, assumimos:
Onde e são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver e .

Passo 6

Resolvendo as equações para e , encontramos:
Então, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Para , calculamos a derivada de :
Avaliando em :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados