Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares, especificamente a busca pela solução geral que envolve a solução da equação homogênea e uma solução particular. Para isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica e depois usar o método da variação dos parâmetros ou tentar uma solução particular adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
, o que nos dá:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observando o lado direito
, vamos tentar uma solução na forma:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Calculando as derivadas necessárias:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 8
Comparando os coeficientes, temos:
Esse sistema indica que nossa escolha inicial para
não está funcionando porque termos semelhantes já estão na solução homogênea. Então, precisamos multiplicar nossa tentativa por
.
Passo 9
Vamos tentar:
Calculando as derivadas novamente e substituindo na equação diferencial, resolvemos para
e
. Após simplificar, encontramos que
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitárias.