Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
y'' - 2y' - 3y = 2x e^(3x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares, especificamente a busca pela solução geral que envolve a solução da equação homogênea e uma solução particular. Para isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica e depois usar o método da variação dos parâmetros ou tentar uma solução particular adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica substituindo por , o que nos dá:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 3

Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito , vamos tentar uma solução na forma:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Calculando as derivadas necessárias:

Passo 7

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 8

Comparando os coeficientes, temos:
Esse sistema indica que nossa escolha inicial para não está funcionando porque termos semelhantes já estão na solução homogênea. Então, precisamos multiplicar nossa tentativa por .

Passo 9

Vamos tentar:
Calculando as derivadas novamente e substituindo na equação diferencial, resolvemos para e . Após simplificar, encontramos que e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitárias.

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