Considere o PVI
Encontre o comportamento da solução quando
para todos os valores possíveis de
(não esqueça de
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial
, junto com as condições iniciais
e
. O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer métodos de solução de equações diferenciais homogêneas e particulares, além de entender como o comportamento da solução muda com diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Então, temos duas raízes:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular constante, digamos
. Derivando, temos
e
. Substituindo na equação:
Isso não funciona, então precisamos tentar uma forma diferente. Vamos supor
. Derivando:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é
, desde que
.
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 6
Primeiro, aplicamos
:
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Substituindo
na primeira condição:
Passo 7
Agora, temos a solução completa:
Vamos analisar o comportamento dessa solução quando
para diferentes valores de
.
Passo 8
Caso 1:
- O termo
tende a zero quando . - O termo
cresce sem limite.
Portanto,
quando
.
Caso 2:
A equação original se torna
. Integrando duas vezes:
Aplicando as condições iniciais:
Então, a solução é
, que também tende a
quando
.
Caso 3:
- O termo
cresce exponencialmente, já que . - O termo
pode crescer ou decrescer dependendo do sinal de , mas domina o comportamento geral.
Assim,
tende a
ou
dependendo do valor específico de
.
Resposta
Quando
tende a
, a solução
do PVI apresentado tende a
para todos os valores de
, incluindo
.