Considere o PVI
y'' + b y' = 3, y(0) = 1, y'(0) = 0
Encontre o comportamento da solução quando t -> +infinito para todos os valores possíveis de b (não esqueça de b = 0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial , junto com as condições iniciais e . O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer métodos de solução de equações diferenciais homogêneas e particulares, além de entender como o comportamento da solução muda com diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Então, temos duas raízes:

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular constante, digamos . Derivando, temos e . Substituindo na equação:
Isso não funciona, então precisamos tentar uma forma diferente. Vamos supor . Derivando:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é , desde que .

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, aplicamos :
Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Substituindo na primeira condição:

Passo 7

Agora, temos a solução completa:
Vamos analisar o comportamento dessa solução quando para diferentes valores de .

Passo 8

Caso 1:
  • O termo tende a zero quando .
  • O termo cresce sem limite.
Portanto, quando .
Caso 2:
A equação original se torna . Integrando duas vezes:
Aplicando as condições iniciais:
Então, a solução é , que também tende a quando .
Caso 3:
  • O termo cresce exponencialmente, já que .
  • O termo pode crescer ou decrescer dependendo do sinal de , mas domina o comportamento geral.
Assim, tende a ou dependendo do valor específico de .

Resposta

Quando tende a , a solução do PVI apresentado tende a para todos os valores de , incluindo .

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