Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada: ointC e^4 /(z-2) d z, |z-1|=3

Passo 1

Vamos começar resumindo o que precisa ser feito. Temos que calcular a integral de contorno ointC e^4 /(z-2) dz, onde o caminho C é o círculo definido por |z-1|=3. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em análise complexa para calcular integrais ao redor de contornos fechados. Precisamos identificar os pontos onde a função tem singularidades (polos) dentro desse contorno e calcular os resíduos nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função f(z) = e^4/(z-2) tem singularidades. Olhando para a expressão, vemos que o denominador z-2 pode se tornar zero, ou seja, quando z = 2. Portanto, a função tem uma singularidade em z = 2.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto z = 2 está dentro do contorno C, que é o círculo |z-1| = 3. A distância entre o ponto z = 2 e o centro do círculo z = 1 é:
|2 - 1| = 1
Como 1 é menor que o raio do círculo, que é 3, o ponto z = 2 está dentro do contorno C.

Passo 4

Como temos uma singularidade dentro do contorno, vamos calcular o resíduo da função f(z) em z = 2. Para funções exponenciais como e^g(z), onde g(z) possui uma singularidade simples, podemos expandir a função em uma série de Laurent para encontrar o resíduo.

Passo 5

Expandindo f(z) em série de Laurent ao redor de z = 2, temos:
e^4/(z-2) = sumn=0^infty 4^nn! (z-2)^n
Essa série mostra a função escrita em termos de potências negativas de (z - 2).

Passo 6

O resíduo é o coeficiente do termo (z - 2)^-1 na série de Laurent. Observando a série acima, vemos que o coeficiente de (z - 2)^-1 é:
4^11! = 4
Portanto, o resíduo em z = 2 é 4.

Passo 7

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral ao redor do contorno C é igual a 2pi i vezes o resíduo no ponto z = 2:
ointC e^4 /(z-2) dz = 2pi i cdot 4 = 8pi i

Resposta

A integral vale 8pi i.

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