Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada:
Passo 1
Vamos começar resumindo o que precisa ser feito. Temos que calcular a integral de contorno
, onde o caminho
é o círculo definido por
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em análise complexa para calcular integrais ao redor de contornos fechados. Precisamos identificar os pontos onde a função tem singularidades (polos) dentro desse contorno e calcular os resíduos nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
tem singularidades. Olhando para a expressão, vemos que o denominador
pode se tornar zero, ou seja, quando
. Portanto, a função tem uma singularidade em
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto
está dentro do contorno
, que é o círculo
. A distância entre o ponto
e o centro do círculo
é:
Como
é menor que o raio do círculo, que é
, o ponto
está dentro do contorno
.
Passo 4
Como temos uma singularidade dentro do contorno, vamos calcular o resíduo da função
em
. Para funções exponenciais como
, onde
possui uma singularidade simples, podemos expandir a função em uma série de Laurent para encontrar o resíduo.
Passo 5
Expandindo
em série de Laurent ao redor de
, temos:
Essa série mostra a função escrita em termos de potências negativas de
.
Passo 6
O resíduo é o coeficiente do termo
na série de Laurent. Observando a série acima, vemos que o coeficiente de
é:
Portanto, o resíduo em
é
.
Passo 7
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral ao redor do contorno
é igual a
vezes o resíduo no ponto
:
Resposta
A integral vale
.