Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e métodos para resolver equações não homogêneas. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada, a solução particular da equação completa e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo por , o que nos dá:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz real usando a regra de sinais ou teste de possíveis raízes racionais. Testando :
Então, é uma raiz.
Passo 4
Com a raiz , podemos fatorar a equação característica:
Portanto, as raízes são e as raízes do polinômio quadrático , que são e .
Passo 5
Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Onde , e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é , assumimos uma forma para . Para , tentamos , e para , tentamos .
Passo 7
Calculamos as derivadas de e substituímos na equação para determinar os coeficientes e :
Depois de calcular e igualar os coeficientes, encontramos que e .
Para , substituímos na equação e encontramos .
Passo 8
Portanto, a solução particular é:
Passo 9
Agora, a solução geral completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Vamos aplicar as condições iniciais , e para encontrar os valores de , e .
Primeiro, calculamos :
Passo 11
Em seguida, calculamos a primeira derivada e aplicamos :
Aplicando :
Passo 12
Por fim, calculamos a segunda derivada e aplicamos :
Aplicando :
Passo 13
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Resposta
Substituindo os valores das constantes na solução geral, a solução do problema de valor inicial é: