Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e métodos para resolver equações não homogêneas. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada, a solução particular da equação completa e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo por , o que nos dá:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz real usando a regra de sinais ou teste de possíveis raízes racionais. Testando :
Então, é uma raiz.

Passo 4

Com a raiz , podemos fatorar a equação característica:
Portanto, as raízes são e as raízes do polinômio quadrático , que são e .

Passo 5

Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Onde , e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é , assumimos uma forma para . Para , tentamos , e para , tentamos .

Passo 7

Calculamos as derivadas de e substituímos na equação para determinar os coeficientes e :
Depois de calcular e igualar os coeficientes, encontramos que e .
Para , substituímos na equação e encontramos .

Passo 8

Portanto, a solução particular é:

Passo 9

Agora, a solução geral completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Vamos aplicar as condições iniciais , e para encontrar os valores de , e .
Primeiro, calculamos :

Passo 11

Em seguida, calculamos a primeira derivada e aplicamos :
Aplicando :

Passo 12

Por fim, calculamos a segunda derivada e aplicamos :
Aplicando :

Passo 13

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos:

Resposta

Substituindo os valores das constantes na solução geral, a solução do problema de valor inicial é:

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