Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir: ly^prime prime prime-2 y^prime prime+4 y^prime-8 y=sen(2 x)-1 y(0)=0, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e métodos para resolver equações não homogêneas. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada, a solução particular da equação completa e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y''' - 2 y'' + 4 y' - 8 y = 0
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo r^3 - 2 r^2 + 4 r - 8 = 0 por , o que nos dá:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz real usando a regra de sinais ou teste de possíveis raízes racionais. Testando 2^3 - 2 cdot 2^2 + 4 cdot 2 - 8 = 8 - 8 + 8 - 8 = 0 :
Então, é uma raiz.

Passo 4

Com a raiz (r - 2)(r^2 + 0r + 4) = 0 , podemos fatorar a equação característica:
Portanto, as raízes são e as raízes do polinômio quadrático , que são e .

Passo 5

Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
yh(x) = C1 e^2x + e^2x ( C2 cos(2x) + C3 sin(2x) )
Onde , e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular y''' - 2 y'' + 4 y' - 8 y = sin(2x) - 1 para a equação completa:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é , assumimos uma forma para . Para , tentamos , e para , tentamos .

Passo 7

Calculamos as derivadas de e substituímos na equação para determinar os coeficientes e :
Depois de calcular e igualar os coeficientes, encontramos que e .
Para , substituímos na equação e encontramos .

Passo 8

Portanto, a solução particular é:
yp(x) = 18 sin(2x) + 18

Passo 9

Agora, a solução geral completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^2x + e^2x ( C2 cos(2x) + C3 sin(2x) ) + 18 sin(2x) + 18

Passo 10

Vamos aplicar as condições iniciais 0 = C1 + C2 + 18 , e para encontrar os valores de , e .
Primeiro, calculamos :

Passo 11

Em seguida, calculamos a primeira derivada y'(x) = 2 C1 e^2x + e^2x ( 2 C2 cos(2x) - 2 C2 sin(2x) + 2 C3 cos(2x) + 2 C3 sin(2x) ) + 14 cos(2x) e aplicamos 0 = 2 C1 + 2 C2 + 2 C3 + 14 :
Aplicando :

Passo 12

Por fim, calculamos a segunda derivada y''(x) = 4 C1 e^2x + e^2x ( 4 C2 cos(2x) - 8 C2 sin(2x) - 8 C3 cos(2x) - 4 C3 sin(2x) ) - 12 sin(2x) e aplicamos 1 = 4 C1 + 4 C2 - 8 C3 :
Aplicando :

Passo 13

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
C1 + C2 + 18 = 0 2 C1 + 2 C2 + 2 C3 + 14 = 0 4 C1 + 4 C2 - 8 C3 = 1
Resolvendo esse sistema, encontramos:
C1 = -14, C2 = 18, C3 = -18

Resposta

Substituindo os valores das constantes na solução geral, a solução do problema de valor inicial é:
y(x) = -14 e^2x + 18 e^2x cos(2x) - 18 e^2x sin(2x) + 18 sin(2x) + 18

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