Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais ordinárias (EDOs). O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com uma condição inicial. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs lineares com coeficientes constantes e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
, e a equação é igual a
. Isso significa que a equação é não homogênea devido ao termo
.
Passo 3
Vamos resolver a parte homogênea da equação primeiro, ou seja, resolveremos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa parte homogênea é dada por:
onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito da equação é
, que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por
para encontrar uma solução particular adequada. Então, vamos supor:
onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 5
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando, os termos com
se cancelam, e ficamos com:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Segundo,
. Vamos calcular
:
Aplicando
:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos:
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