Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais ordinárias (EDOs). O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com uma condição inicial. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs lineares com coeficientes constantes e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e a equação é igual a . Isso significa que a equação é não homogênea devido ao termo .

Passo 3

Vamos resolver a parte homogênea da equação primeiro, ou seja, resolveremos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa parte homogênea é dada por:
onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito da equação é , que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por para encontrar uma solução particular adequada. Então, vamos supor:
onde e são constantes a serem determinados.

Passo 5

Vamos derivar para encontrar e :
Substituindo e na equação original:
Simplificando, os termos com se cancelam, e ficamos com:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :
Segundo, . Vamos calcular :
Aplicando :

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

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