Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a solução para uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é
, e as condições são
e
. Vamos usar o que aprendemos sobre equações diferenciais lineares e métodos de solução para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo para
, temos:
Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o termo do lado direito é
, que já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para encontrar a solução particular. Vamos assumir:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original
:
Percebe-se que os termos com
se cancelam:
Igualando os coeficientes:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, a solução particular fica:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 8
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Então,
.
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Simplificando com
:
Aplicando
:
Então,
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Indique de que forma deve-se procurar uma solução particular das equações diferenciais, sem, contudo, determinar os coeficientes: