Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a solução para uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é , e as condições são e . Vamos usar o que aprendemos sobre equações diferenciais lineares e métodos de solução para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo para , temos:
Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo do lado direito é , que já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular. Vamos assumir:
Aqui, e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 5

Substituímos e na equação original :
Percebe-se que os termos com se cancelam:
Igualando os coeficientes:

Passo 6

Agora que encontramos e , a solução particular fica:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 8

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Então, .
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Simplificando com :
Aplicando :
Então, .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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Indique de que forma deve-se procurar uma solução particular das equações diferenciais, sem, contudo, determinar os coeficientes: