Encontre a solução de cada PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a solução de uma equação diferencial do tipo PVI (Problema de Valor Inicial). A equação que temos é com as condições iniciais e . Para resolver, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, como encontrar a solução geral da homogênea e uma solução particular, e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. A gente busca soluções na forma , onde é uma constante a ser determinada.
Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos que:
Isso nos mostra que as raízes são complexas, então a solução geral da homogênea é:
Onde e são constantes que vão ser determinadas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Para isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Nossa função não homogênea é , que é um polinômio de primeiro grau. Então, vamos supor uma solução particular na forma:
Onde e são constantes a serem encontradas.
Vamos derivar :
Substituindo na equação original:
Comparando os coeficientes:
Para :
Para a constante:
Então, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênica com a particular para obter a solução geral da equação:

Passo 5

Finalmente, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, derivamos :
Substituindo e :

Resposta

A solução do PVI é:

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Um tanque de 200 litros de capacidade, contém inicial- mente 40 litros de água pura. A partir do instante , adiciona-se no tanque uma solução de salmoura com 250 gramas de sal por litro, à razão de 12 litros por minuto. A mistura é suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 8 l/min. Determinar: o tempo necessário para que ocorra o transbordamento; a concentração de sal na mistura presente no tanque no instante do transbordamento.