Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a solução de uma equação diferencial do tipo PVI (Problema de Valor Inicial). A equação que temos é
com as condições iniciais
e
. Para resolver, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, como encontrar a solução geral da homogênea e uma solução particular, e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. A gente busca soluções na forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos que:
Isso nos mostra que as raízes são complexas, então a solução geral da homogênea é:
Onde
e
são constantes que vão ser determinadas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Nossa função não homogênea é
, que é um polinômio de primeiro grau. Então, vamos supor uma solução particular na forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Vamos derivar
:
Substituindo na equação original:
Comparando os coeficientes:
Para :
Para
Para a constante:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênica com a particular para obter a solução geral da equação:
Passo 5
Finalmente, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, derivamos :
Primeiro, derivamos
Substituindo
e
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada PVI:
Encontre a solução de cada PVI:
Encontre a solução de cada PVI:
Um tanque de 200 litros de capacidade, contém inicial- mente 40 litros de água pura. A partir do instante
, adiciona-se no tanque uma solução de salmoura com 250 gramas de sal por litro, à razão de 12 litros por minuto. A mistura é suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 8 l/min. Determinar: o tempo necessário para que ocorra o transbordamento; a concentração de sal na mistura presente no tanque no instante do transbordamento.