Encontre a solução de cada PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é:
com as condições iniciais e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é a parte da equação sem o termo não homogêneo. Ou seja:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando a equação característica.

Passo 3

A equação característica para essa equação homogênea é:
Resolvendo para :

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea fica:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos achar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é uma função polinomial de primeiro grau ( ), vamos assumir que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:

Passo 6

Vamos derivar :
Substituindo , e na equação original:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para o termo constante:
Então, a solução particular é:

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 9

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, aplicando :
çã

Passo 10

Agora, derivamos para aplicar a segunda condição inicial :
Aplicando :
çã

Passo 11

Agora, temos o sistema de equações:
çãçã
Somando as duas equações:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução do PVI é:

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