Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é:
com as condições iniciais
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é a parte da equação sem o termo não homogêneo. Ou seja:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando a equação característica.
Passo 3
A equação característica para essa equação homogênea é:
Resolvendo para
:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea fica:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos achar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é uma função polinomial de primeiro grau (
), vamos assumir que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
Passo 6
Vamos derivar
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para o termo constante:
Então, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 9
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, aplicando
:
Passo 10
Agora, derivamos
para aplicar a segunda condição inicial
:
Aplicando
:
Passo 11
Agora, temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada PVI:
Encontre a solução de cada PVI:
Encontre a solução de cada PVI:
Encontre a solução de cada PVI: