Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial:
Esse tipo de equação está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito é zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma e substituímos na equação para encontrar os valores de .
Passo 3
Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos que:
Passo 4
Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Primeiro, observamos que já é uma solução da equação homogênea, então precisamos multiplicar por para evitar repetição. Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde e são constantes que iremos encontrar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo , e na equação original:
Então:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo em :
Para o termo constante:
Passo 9
Com os valores de e , a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 11
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .