Encontre a solução de cada PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial:
Esse tipo de equação está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito é zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma e substituímos na equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos que:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Primeiro, observamos que já é uma solução da equação homogênea, então precisamos multiplicar por para evitar repetição. Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde e são constantes que iremos encontrar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Então:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo em :
Para o termo constante:

Passo 9

Com os valores de e , a solução particular é:

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 11

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :
Então:

Passo 12

Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Simplificando:
Agora, substituindo :
Como , substituindo:

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução de cada PVI:
Encontre a solução de cada PVI:
Encontre a solução de cada PVI:
Encontre a solução de cada PVI: