Em cada um dos seguintes itens, primeiro verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada, e, por último, escreva a respectiva solução geral.
h.
,
,
.
h.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial não homogênea do tipo:
Além disso, foram dadas duas soluções da equação homogênea associada:
e
.
Vamos precisar saber como verificar se essas funções realmente resolvem a equação homogênea e depois encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Por fim, vamos combinar tudo para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
satisfaz a equação homogênea. A equação homogênea é:
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos na equação:
Então,
realmente satisfaz a equação homogênea.
Passo 3
Vamos agora verificar para
.
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Portanto,
também satisfaz a equação homogênea.
Passo 4
Agora que confirmamos que
e
resolvem a equação homogênea, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, vamos supor que a solução particular
tem a forma:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação não homogênea:
Queremos que isso seja igual a
, então temos:
Isso implica que
, ou seja,
.
Passo 6
Com
, a solução particular é:
Passo 7
Agora, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea com a solução particular encontrada. A solução geral da equação homogênea é:
Portanto, a solução geral da equação não homogênea é:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
g. ;
g.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i. ,
,
i.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
c.
c.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
n. ,
,
n.