Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
y'' + 4y = sen(t) - u_pi(t) sen(t - pi) ; y(0) = 0 ; y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com condições iniciais. A equação é:
E as condições iniciais são:
Conteúdo que vamos usar:
  • Solução de equações diferenciais lineares de segunda ordem.
  • Método de Transformada de Laplace para resolver EDOs.
  • Propriedades das funções de Heaviside .
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
A Transformada de Laplace de é:
E a Transformada de Laplace de é:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Substituímos as condições iniciais e :
Aqui, usamos as transformadas conhecidas:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, resolvemos para :
Vamos separar em duas partes:

Passo 5

Precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para cada termo.
Primeiro, vamos resolver . Usamos frações parciais:
Resolvendo para A e B:
Para :
Para :
Então:
A Transformada Inversa de Laplace é:
Aplicando isso:
Agora, para o segundo termo , que corresponde a um atraso no tempo devido à função de Heaviside. Usamos:
Então:

Passo 6

Finalmente, combinamos as duas partes para obter a solução geral:

Resposta

A solução da EDO com as condições iniciais dadas é:

Exercícios relacionados