Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com condições iniciais. A equação é:
E as condições iniciais são:
Conteúdo que vamos usar:
- Solução de equações diferenciais lineares de segunda ordem.
- Método de Transformada de Laplace para resolver EDOs.
- Propriedades das funções de Heaviside
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Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
A Transformada de Laplace de
é:
E a Transformada de Laplace de
é:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Substituímos as condições iniciais
e
:
Aqui, usamos as transformadas conhecidas:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, resolvemos para
:
Vamos separar em duas partes:
Passo 5
Precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para cada termo.
Primeiro, vamos resolver
. Usamos frações parciais:
Resolvendo para A e B:
Para
:
Para
:
Então:
A Transformada Inversa de Laplace é:
Aplicando isso:
Agora, para o segundo termo
, que corresponde a um atraso no tempo devido à função de Heaviside. Usamos:
Então:
Passo 6
Finalmente, combinamos as duas partes para obter a solução geral:
Resposta
A solução da EDO com as condições iniciais dadas é: