Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
y'''' - y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0, y''(0) = 1, y'''(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem que você me mandou. O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO com algumas condições iniciais específicas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações características e resolver um sistema com as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da EDO. Para uma EDO linear de ordem com coeficientes constantes, substituímos por para encontrar uma equação algébrica que nos dará as raízes . No nosso caso, a EDO é:
Substituindo, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica :
As soluções para essa equação são os quatro números complexos:

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Cada raiz contribui com uma parte diferente da solução:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes. As condições são:
Primeiro, calculamos as derivadas de :
Agora, substituímos em cada uma:

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver passo a passo:
  1. Somando a primeira e a terceira equação:
  1. Subtraindo a terceira equação da primeira:
  1. Usando a equação :
  1. Das equações segunda e quarta:
Somando ambas:
Como e , então:
  1. Substituindo e na segunda equação:

Resposta

Com todas as constantes encontradas, a solução particular da EDO é:

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