Encontre a solução da EDO com condições iniciais. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem que você me mandou. O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO com algumas condições iniciais específicas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações características e resolver um sistema com as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da EDO. Para uma EDO linear de ordem com coeficientes constantes, substituímos por para encontrar uma equação algébrica que nos dará as raízes . No nosso caso, a EDO é:
Substituindo, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica :
As soluções para essa equação são os quatro números complexos:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Cada raiz contribui com uma parte diferente da solução:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes. As condições são:
Primeiro, calculamos as derivadas de :
Agora, substituímos em cada uma:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver passo a passo:
Somando a primeira e a terceira equação:
Subtraindo a terceira equação da primeira:
Usando a equação :
Das equações segunda e quarta:
Somando ambas:
Como e , então:
Substituindo e na segunda equação:
Resposta
Com todas as constantes encontradas, a solução particular da EDO é: