Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem com algumas condições iniciais. A equação é:
E as condições iniciais são todas iguais a zero:
Para resolver essa EDO, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais com condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de derivadas de ordem superior utiliza as condições iniciais. Então, aplicando a transformada:
Passo 3
Agora, vamos substituir as transformadas das derivadas usando as condições iniciais, que todas são zero:
Neste passo,
é a transformada de Laplace de
.
Passo 4
Vamos fatorar
na equação:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador
. Observando que é uma equação quadrática em
:
Então, a expressão para
fica:
Passo 6
Agora, vamos realizar a decomposição em frações parciais para simplificar a expressão. Isso nos ajudará a aplicar a Transformada de Laplace inversa mais facilmente.
Resolvendo para
, encontramos:
Então,
Passo 7
Substituindo de volta em
:
Isso pode ser separado em duas partes:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo. Lembrando que:
Aplicando isso, temos:
Resposta
A solução da EDO é: