Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
y^iv+5 y^prime prime+4 y=1-upi(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=0, y^prime prime prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem com algumas condições iniciais. A equação é:
y^iv + 5 y'' + 4 y = 1 - upi(t)
E as condições iniciais são todas iguais a zero:
y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(0) = 0, y'''(0) = 0
Para resolver essa EDO, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de derivadas de ordem superior utiliza as condições iniciais. Então, aplicando a transformada:
Ly^iv + 5 Ly'' + 4 Ly = L1 - Lupi(t)

Passo 3

Agora, vamos substituir as transformadas das derivadas usando as condições iniciais, que todas são zero:
s^4 Y(s) + 5 s^2 Y(s) + 4 Y(s) = 1s - e^-pi ss
Neste passo, é a transformada de Laplace de .

Passo 4

Vamos fatorar Y(s) (s^4 + 5 s^2 + 4) = 1 - e^-pi ss na equação:
Y(s) = 1 - e^-pi ss (s^4 + 5 s^2 + 4)
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Vamos fatorar o denominador s^4 + 5 s^2 + 4 = (s^2 + 1)(s^2 + 4) . Observando que é uma equação quadrática em Y(s) = 1 - e^-pi ss (s^2 + 1)(s^2 + 4) :
Então, a expressão para fica:

Passo 6

Agora, vamos realizar a decomposição em frações parciais para simplificar a expressão. Isso nos ajudará a aplicar a Transformada de Laplace inversa mais facilmente.
1s (s^2 + 1)(s^2 + 4) = As + Bs + Cs^2 + 1 + Ds + Es^2 + 4
Resolvendo para A = 14, B = -14, C = 0, D = 14, E = 0 , encontramos:
1s (s^2 + 1)(s^2 + 4) = 14s - s4 (s^2 + 1) + s4 (s^2 + 4)
Então,

Passo 7

Substituindo de volta em Y(s) = ( 14s - s4 (s^2 + 1) + s4 (s^2 + 4) ) (1 - e^-pi s) :
Y(s) = 14s - s4 (s^2 + 1) + s4 (s^2 + 4) - e^-pi s ( 14s - s4 (s^2 + 1) + s4 (s^2 + 4) )
Isso pode ser separado em duas partes:

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo. Lembrando que:
L^-11s = 1, L^-1ss^2 + a^2 = cos(a t), L^-1e^-pi s F(s) = upi(t) f(t - pi)
Aplicando isso, temos:
y(t) = 14 - 14 cos(t) + 14 cos(2t) - upi(t) ( 14 - 14 cos(t - pi) + 14 cos(2(t - pi)) )

Resposta

A solução da EDO é:
y(t) = 14 (1 - cos(t) + cos(2t)) - 14 upi(t) (1 - cos(t - pi) + cos(2(t - pi)))

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