Encontre a transformada de Laplace da função.
f(t) = { 0, t < 2 ; (t - 2)², t ≥ 2 }

Passo 1

Vamos analisar o enunciado. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função , que é definida de forma diferente para e . Estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo para o domínio da frequência (variável ). Para resolver isso, vamos precisar usar a propriedade de deslocamento da transformada de Laplace e a função degrau de Heaviside.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função utilizando a função degrau de Heaviside, que é muito útil em transformadas de Laplace para funções que mudam de comportamento em um certo ponto no tempo. A função degrau de Heaviside é definida como:
Então, podemos escrever como:
Isso significa que para , , e para , .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a propriedade de deslocamento da transformada de Laplace. Essa propriedade nos diz que:
No nosso caso, e . Então, a transformada de Laplace de será:

Passo 4

Precisamos agora encontrar a transformada de Laplace de . Sabemos que:
Para , temos:

Passo 5

Substituindo a transformada de na expressão anterior, temos:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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<html><head></head><body><div>Encontre a solução da EDO com condições iniciais.<br>
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<html><head></head><body><div>Encontre a solução da EDO com condições iniciais.<br>
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Encontre a solução da EDO com condições iniciais.<br>
<span class="math-inline ">
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http://www.w3.org/2000/svg” width=“57.291ex” height=“2.283ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -759 25322.4 1009”><title>y’’ + 4y = sen(t) - u_pi(t) sen(t - pi) ; y(0) = 0 ; y’(0) = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 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<html><head></head><body><div>Encontre a solução da EDO com condições iniciais.<br>
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