Encontre a transformada de Laplace da função.
f(t) = { 0, t < 2 ; (t - 2)², t ≥ 2 }

Passo 1

Vamos analisar o enunciado. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função , que é definida de forma diferente para e . Estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo para o domínio da frequência (variável ). Para resolver isso, vamos precisar usar a propriedade de deslocamento da transformada de Laplace e a função degrau de Heaviside.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função utilizando a função degrau de Heaviside, que é muito útil em transformadas de Laplace para funções que mudam de comportamento em um certo ponto no tempo. A função degrau de Heaviside é definida como:
Então, podemos escrever como:
Isso significa que para , , e para , .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a propriedade de deslocamento da transformada de Laplace. Essa propriedade nos diz que:
No nosso caso, e . Então, a transformada de Laplace de será:

Passo 4

Precisamos agora encontrar a transformada de Laplace de . Sabemos que:
Para , temos:

Passo 5

Substituindo a transformada de na expressão anterior, temos:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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