Encontre a transformada de Laplace da função.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função
, que é definida de forma diferente para
e
. Estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo para o domínio da frequência (variável
). Para resolver isso, vamos precisar usar a propriedade de deslocamento da transformada de Laplace e a função degrau de Heaviside.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
utilizando a função degrau de Heaviside, que é muito útil em transformadas de Laplace para funções que mudam de comportamento em um certo ponto no tempo. A função degrau de Heaviside é definida como:
Então, podemos escrever
como:
Isso significa que para
,
, e para
,
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a propriedade de deslocamento da transformada de Laplace. Essa propriedade nos diz que:
No nosso caso,
e
. Então, a transformada de Laplace de
será:
Passo 4
Precisamos agora encontrar a transformada de Laplace de
. Sabemos que:
Para
, temos:
Passo 5
Substituindo a transformada de
na expressão anterior, temos:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: