Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
y'' + y = f(t) ; y(0) = 0, y'(0) = 1 ; f(t) = { 1, 0 <= t < pi/2 ; 0, t >= pi/2 }

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
com as condições iniciais e , onde:
Vamos precisar utilizar transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver EDOs com condições iniciais e funções por partes.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
e
onde é a transformada de Laplace de .
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos achar . Como é uma função por partes, podemos escrevê-la como:
onde é a função degrau de Heaviside.
A transformada de Laplace de será:

Passo 4

Substituindo na equação anterior:
Resolvendo para :

Passo 5

Vamos decompor para facilitar a inversa da transformada:
Cada termo será transformado de volta para o domínio do tempo usando transformadas conhecidas.

Passo 6

Calculando a transformada inversa:
  1. corresponde a
  2. corresponde a
  3. corresponde a

Passo 7

Juntando tudo, a solução geral é:
Simplificando:

Resposta

A solução da EDO com as condições iniciais dadas é:

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