Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
com as condições iniciais
e
, onde:
Vamos precisar utilizar transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver EDOs com condições iniciais e funções por partes.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
e
onde
é a transformada de Laplace de
.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos achar
. Como
é uma função por partes, podemos escrevê-la como:
onde
é a função degrau de Heaviside.
A transformada de Laplace de
será:
Passo 4
Substituindo
na equação anterior:
Resolvendo para
:
Passo 5
Vamos decompor
para facilitar a inversa da transformada:
Cada termo será transformado de volta para o domínio do tempo usando transformadas conhecidas.
Passo 6
Calculando a transformada inversa:
-
corresponde a -
corresponde a -
corresponde a
Passo 7
Juntando tudo, a solução geral é:
Simplificando:
Resposta
A solução da EDO com as condições iniciais dadas é: