Esboce a curva e calcule a área determinada por ela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva definida pela equação polar
e depois calcular a área que ela delimita. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e integração para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação
representa. Em coordenadas polares,
é a distância do ponto ao polo (origem) e
é o ângulo em relação ao eixo positivo do x. A equação
descreve um círculo. Para visualizar isso melhor, podemos converter para coordenadas cartesianas.
Passo 3
Vamos converter a equação para coordenadas cartesianas. Sabemos que:
Substituindo
na equação original:
Como
, temos:
Isso mostra que a curva é um círculo com raio 1 e centrado no ponto (1, 0) no sistema cartesiano.
Passo 4
Agora vamos esboçar a curva. Sabemos que
é um círculo com raio 1 (já que o coeficiente de
é 2, e o raio é a metade disso) e está deslocado 1 unidade para a direita no eixo x. Ao variar
de 0 a
, a curva completa um círculo.
Passo 5
Para calcular a área delimitada por essa curva, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Onde
e
são os limites de integração que cobrem toda a curva.
Passo 6
Determinar os limites de integração. Como o círculo completo é traçado quando
varia de 0 a
(pois
é simétrica em relação a
), vamos integrar de 0 a
.
Passo 7
Substituir
na fórmula da área:
Usamos a identidade
para simplificar a integral:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Então, a área fica:
Resposta
A área delimitada pela curva
é igual a
unidades de área.