Esboce a curva e calcule a área determinada por ela.
r = 2 cos(θ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva definida pela equação polar e depois calcular a área que ela delimita. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e integração para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação representa. Em coordenadas polares, é a distância do ponto ao polo (origem) e é o ângulo em relação ao eixo positivo do x. A equação descreve um círculo. Para visualizar isso melhor, podemos converter para coordenadas cartesianas.

Passo 3

Vamos converter a equação para coordenadas cartesianas. Sabemos que:
Substituindo na equação original:
Como , temos:
Isso mostra que a curva é um círculo com raio 1 e centrado no ponto (1, 0) no sistema cartesiano.

Passo 4

Agora vamos esboçar a curva. Sabemos que é um círculo com raio 1 (já que o coeficiente de é 2, e o raio é a metade disso) e está deslocado 1 unidade para a direita no eixo x. Ao variar de 0 a , a curva completa um círculo.

Passo 5

Para calcular a área delimitada por essa curva, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Onde e são os limites de integração que cobrem toda a curva.

Passo 6

Determinar os limites de integração. Como o círculo completo é traçado quando varia de 0 a (pois é simétrica em relação a ), vamos integrar de 0 a .

Passo 7

Substituir na fórmula da área:
Usamos a identidade para simplificar a integral:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
Então, a área fica:

Resposta

A área delimitada pela curva é igual a unidades de área.

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