Encontre a transformada de Laplace da função.
f(t) = { 0, t < 1 | t² - 2t + 2, t ≥ 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é um problema de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil na engenharia e na matemática para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. A gente vai precisar entender como lidar com funções definidas por partes e usar a função de Heaviside para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que seja mais fácil de trabalhar com a Transformada de Laplace. A função está definida assim:
Para facilitar, vamos usar a função de Heaviside, também conhecida como função degrau unitário, que é definida por:
Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da definição da Transformada de Laplace para uma função multiplicada pela função de Heaviside:
No nosso caso, e . Então, a Transformada de Laplace fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da Transformada de Laplace:
Então, a Transformada de Laplace fica:
Agora, sabemos que a Transformada de Laplace é linear, ou seja:
E temos as seguintes transformadas básicas:
Aplicando isso:
Então:

Passo 5

Agora, juntando tudo:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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