Encontre a transformada de Laplace da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é um problema de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil na engenharia e na matemática para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. A gente vai precisar entender como lidar com funções definidas por partes e usar a função de Heaviside para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma maneira que seja mais fácil de trabalhar com a Transformada de Laplace. A função está definida assim:
Para facilitar, vamos usar a função de Heaviside, também conhecida como função degrau unitário, que é definida por:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da definição da Transformada de Laplace para uma função multiplicada pela função de Heaviside:
No nosso caso,
e
. Então, a Transformada de Laplace fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da Transformada de Laplace:
Então, a Transformada de Laplace fica:
Agora, sabemos que a Transformada de Laplace é linear, ou seja:
E temos as seguintes transformadas básicas:
Aplicando isso:
Então:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: