Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do quarto grau com algumas condições iniciais. O que isso significa é que precisamos encontrar uma função
que satisfaça essa equação e que passe pelos pontos especificados pelas condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Aqui,
representa a quarta derivada de
em relação a
.
Passo 3
Para resolver essa EDO homogênea com coeficientes constantes, começamos encontrando a equação característica. Substituímos
por
, onde
é uma constante. Assim, substituindo na EDO:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação polinomial para encontrar os valores de
. Observando os coeficientes, percebemos que o polinômio pode ser fatorado como
, ou seja:
Isso significa que temos uma raiz real
com multiplicidade 4.
Passo 5
Com a raiz
de multiplicidade 4, a solução geral da EDO é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Passo 7
Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Como
e substituindo
:
Passo 8
Terceira condição:
Vamos calcular a segunda derivada:
Substituindo
:
Passo 9
Quarta condição:
Calculando a terceira derivada:
Substituindo
:
Resposta
A solução da EDO com as condições iniciais dadas é:
Ou simplificando: