Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
y^prime prime prime prime-4 y^prime prime prime+6 y^prime prime-4 y^prime+y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=0, y^prime prime prime(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do quarto grau com algumas condições iniciais. O que isso significa é que precisamos encontrar uma função que satisfaça essa equação e que passe pelos pontos especificados pelas condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
y^(4) - 4y''' + 6y'' - 4y' + y = 0
Aqui, representa a quarta derivada de em relação a .

Passo 3

Para resolver essa EDO homogênea com coeficientes constantes, começamos encontrando a equação característica. Substituímos r^4 - 4r^3 + 6r^2 - 4r + 1 = 0 por , onde é uma constante. Assim, substituindo na EDO:

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação polinomial para encontrar os valores de (r - 1)^4 = 0 . Observando os coeficientes, percebemos que o polinômio pode ser fatorado como , ou seja:
Isso significa que temos uma raiz real com multiplicidade 4.

Passo 5

Com a raiz y(t) = (C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 t^3) e^t de multiplicidade 4, a solução geral da EDO é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Primeira condição: 0 = (C1 + 0 + 0 + 0) e^0 Rightarrow C1 = 0
Substituindo na solução geral:

Passo 7

Segunda condição: y'(t) = (C2 + 2C3 t + 3C4 t^2) e^t + (C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 t^3) e^t
Primeiro, vamos encontrar a derivada de 1 = C2 e^0 Rightarrow C2 = 1 :
Como e substituindo :

Passo 8

Terceira condição: y''(t) = (2C3 + 6C4 t) e^t + 2(C2 + 2C3 t + 3C4 t^2) e^t + (C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 t^3) e^t
Vamos calcular a segunda derivada:
0 = 2C3 + 2C2 Rightarrow 0 = 2C3 + 2(1) Rightarrow C3 = -1
Substituindo :

Passo 9

Quarta condição: y'''(t) = (6C4) e^t + 6C4 t e^t + 6C4 t^2 e^t + termos com t maiores
Calculando a terceira derivada:
1 = 6C4 Rightarrow C4 = 16
Substituindo :

Resposta

A solução da EDO com as condições iniciais dadas é:
y(t) = (0 + 1 cdot t - 1 cdot t^2 + 16 t^3) e^t
Ou simplificando:
y(t) = (t - t^2 + 16 t^3) e^t

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