Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa EDO (Equação Diferencial Ordinária) que é
com as condições iniciais
,
,
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre resolver equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para isso, precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à EDO. Para a equação
, substituímos
por
e obtemos:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica
:
Sabemos que
, então temos as raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é uma combinação das soluções exponenciais e trigonométricas:
Onde
,
,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes. Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais no ponto
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 7
Com
e
, substituímos nas equações anteriores:
- De
e :
- De
e :
Agora temos um sistema de duas equações:
Passo 8
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Como
, então
.
Passo 9
Agora que temos todas as constantes:
Substituímos de volta na solução geral:
Simplificando: