Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
y'''' - 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0, y''(0) = -2, y'''(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa EDO (Equação Diferencial Ordinária) que é com as condições iniciais , , e . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre resolver equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para isso, precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à EDO. Para a equação , substituímos por e obtemos:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica :
Sabemos que , então temos as raízes:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é uma combinação das soluções exponenciais e trigonométricas:
Onde , , e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes. Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais no ponto :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 7

Com e , substituímos nas equações anteriores:
  1. De e :
  1. De e :
Agora temos um sistema de duas equações:

Passo 8

Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Como , então .

Passo 9

Agora que temos todas as constantes:
Substituímos de volta na solução geral:
Simplificando:

Resposta

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