Encontre a transformada de Laplace da função dada, sendo a e b constantes ambas diferentes de zero. Lembre-se que cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2 e senh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2.
f(t) = t^2 * senh(a * t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função , onde é uma constante diferente de zero. Para isso, vamos usar conceitos da matéria de transformadas de Laplace, especialmente a transformação de funções que envolvem exponenciais e polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a função é definida. Sabemos que:
Então, podemos reescrever usando essa definição:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace. Ou seja, a transformada de uma soma é a soma das transformadas. Então, temos:

Passo 4

Vamos agora encontrar a transformada de Laplace de e . Sabemos que:
Para , isso fica:

Passo 5

Substituindo esses resultados na expressão que tínhamos:
Simplificando:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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