Um observador parado vê um prédio em um terreno plano sob o ângulo de 45 graus. Depois ele se afasta 20 m e vê o mesmo prédio sob um ângulo de 30° A distância inicial, em metros, entre o observador e o prédio é:
a) 10 * (raiz(3) + 1)
b) 10
c) 60 * raiz(3) + 1
d) 11
e) 12

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um observador que vê um prédio sob dois ângulos diferentes à medida que se afasta. Usaremos trigonometria, especificamente as funções trigonométricas envolvidas nos triângulos formados pelos ângulos de visão. Precisamos descobrir qual era a distância inicial entre o observador e o prédio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Inicialmente, o observador vê o prédio com um ângulo de .
  • Depois de se afastar 20 metros, ele vê o prédio com um ângulo de .
  • Queremos encontrar a distância inicial entre o observador e o prédio, que vamos chamar de .

Passo 3

Vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. Imagine um terreno plano:
  • O prédio está em um ponto fixo.
  • O observador está inicialmente a uma distância do prédio.
  • Após se afastar 20 metros, a nova distância é metros.

Passo 4

Agora, vamos usar a função tangente, que relaciona o ângulo de visão com a altura do prédio e a distância horizontal. A tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente.
Para o primeiro ângulo ( ):
Sabemos que , então:

Passo 5

Para o segundo ângulo ( ) quando o observador está a metros:
Sabemos que , então:

Passo 6

Lembrando que (do Passo 4), substituímos na equação acima:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo:

Passo 8

Vamos isolar :
Fatorando no lado direito:
Simplificando:

Passo 9

Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Para simplificar, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por :
Simplificando:

Resposta

A distância inicial entre o observador e o prédio é metros.

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