Um observador parado vê um prédio em um terreno plano sob o ângulo de
. Depois ele se afasta 20 m e vê o mesmo prédio sob um ângulo de
distância inicial, em metros, entre o observador e o prédio é:
a)
b) 10
c)
d) 11
e) 12
a)
b) 10
c)
d) 11
e) 12
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre um observador que vê um prédio sob dois ângulos diferentes à medida que se afasta. Usaremos trigonometria, especificamente as funções trigonométricas envolvidas nos triângulos formados pelos ângulos de visão. Precisamos descobrir qual era a distância inicial entre o observador e o prédio.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Inicialmente, o observador vê o prédio com um ângulo de
. - Depois de se afastar 20 metros, ele vê o prédio com um ângulo de
. - Queremos encontrar a distância inicial entre o observador e o prédio, que vamos chamar de
.
Passo 3
Vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. Imagine um terreno plano:
- O prédio está em um ponto fixo.
- O observador está inicialmente a uma distância
do prédio. - Após se afastar 20 metros, a nova distância é
metros.
Passo 4
Agora, vamos usar a função tangente, que relaciona o ângulo de visão com a altura do prédio e a distância horizontal. A tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente.
Para o primeiro ângulo (
):
Sabemos que
, então:
Passo 5
Para o segundo ângulo (
) quando o observador está a
metros:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Lembrando que
(do Passo 4), substituímos na equação acima:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo:
Passo 8
Vamos isolar
:
Fatorando
no lado direito:
Simplificando:
Passo 9
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Para simplificar, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Simplificando:
Resposta
A distância inicial entre o observador e o prédio é
metros.
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, em que
consiste:
(b) no segmento de reta que une os pontos e
.
(b) no segmento de reta que une os pontos
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