Segundo o economista clássico Malthus,
dP/dt = K P
Onde a taxa k é uma constante de proporcionalidade que relaciona a Natalidade ( n ) e a Mortalidade ( m ) e é dada por K = n - m . A Equação Diferencial Linear Ordinária, acima, apresenta como solução a função dada pela expressão P(t) onde P0 é a população inicial no instante t0, ou seja:
P(t0) = P0. Portanto, conclui-se que:
  1. Se k > 0, a população cresce.
  2. Se k < 0, a população se reduzirá.
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá falando. A gente tem uma equação diferencial que descreve como a população ( P) muda ao longo do tempo ( t). A equação é:
Aqui, K é uma constante que depende da taxa de natalidade ( n) e mortalidade ( m), sendo dada por . Basicamente, a gente quer resolver essa equação para encontrar a função P(t) que descreve a população em qualquer tempo t. Além disso, a questão nos diz que se , a população cresce, e se , a população diminui. Vamos precisar conhecer um pouco de equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para esse tipo de equação é:
Onde:
  • é a população inicial no tempo .
  • e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2.71828.
Essa função mostra como a população cresce ou diminui exponencialmente ao longo do tempo, dependendo do valor de K.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da população de acordo com o valor de K:
  1. Se :
    • A exponencial vai aumentar à medida que o tempo t aumenta.
    • Isso significa que P(t) vai crescer, ou seja, a população está aumentando.
  2. Se :
    • A exponencial vai diminuir à medida que o tempo t aumenta.
    • Nesse caso, P(t) vai diminuir, indicando que a população está se reduzindo.
Isso confirma o que a questão pediu para concluir sobre o comportamento da população com base no sinal de K.

Resposta

Se , a população cresce conforme . Se , a população diminui de acordo com a mesma função. Portanto:
  1. Com k > 0, a população cresce.
  2. Com k < 0, a população se reduz.

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A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Ta do meio ambiente, isto é:
dT/dt = -k(T - Ta)
Onde:
T: temperatura do corpo no instante t
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T - Ta: diferença de temperatura
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