Segundo o economista clássico Malthus,
Onde a taxa
é uma constante de proporcionalidade que relaciona a Natalidade (
) e a Mortalidade (
) e é dada por
- m . A Equação Diferencial Linear Ordinária, acima, apresenta como solução a função dada pela expressão
onde
é a população inicial no instante
, ou seja:
. Portanto, conclui-se que:
- Se
, a população cresce.
- Se
, a população se reduzirá.
Lista Eq. Diferencial - Prof. Dr. Irval
Lista Eq. Diferencial - Prof. Dr. Irval
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá falando. A gente tem uma equação diferencial que descreve como a população (
) muda ao longo do tempo (
). A equação é:
Aqui,
é uma constante que depende da taxa de natalidade (
) e mortalidade (
), sendo dada por
. Basicamente, a gente quer resolver essa equação para encontrar a função
que descreve a população em qualquer tempo
. Além disso, a questão nos diz que se
, a população cresce, e se
, a população diminui. Vamos precisar conhecer um pouco de equações diferenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para esse tipo de equação é:
Onde:
-
é a população inicial no tempo . -
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2.71828.
Essa função mostra como a população cresce ou diminui exponencialmente ao longo do tempo, dependendo do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da população de acordo com o valor de
:
-
Se
: - A exponencial
vai aumentar à medida que o tempo aumenta. - Isso significa que
vai crescer, ou seja, a população está aumentando.
- A exponencial
-
Se
: - A exponencial
vai diminuir à medida que o tempo aumenta. - Nesse caso,
vai diminuir, indicando que a população está se reduzindo.
- A exponencial
Isso confirma o que a questão pediu para concluir sobre o comportamento da população com base no sinal de
.
Resposta
Se
, a população cresce conforme
. Se
, a população diminui de acordo com a mesma função. Portanto:
-
Com
, a população cresce. -
Com
, a população se reduz.
Exercícios relacionados
Lei de Resfriamento de Newton
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a
Lista Eq. Diferencial - Prof. Dr. Irval
temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Ta do meio ambiente, isto é:
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a
Lista Eq. Diferencial - Prof. Dr. Irval
temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
Onde:
T: temperatura do corpo no instante
: temperatura constante do ambiente
T - Ta: diferença de temperatura
t : tempo
k : constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
T: temperatura do corpo no instante
T - Ta: diferença de temperatura
t : tempo
k : constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
Problema 1
Suponha que um cadáver seja encontrado em condições suspeitas no instante
. A temperatura do corpo é medida imediatamente pelo perito e o valor obtido é
. O corpo é retirado da cena do suposto crime e duas horas depois sua temperatura é novamente medida e o valor encontrado é
. O crime parece ter ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A perícia então faz a suposição adicional de que a temperatura do meio ambiente entre a hora da morte Ta e a hora em que o cadáver foi encontrado
tenha se mantido mais ou menos constante
. A perícia sabe também que a temperatura normal de um ser humano vivo é de
. Com esses dados como a perícia pode determinar a hora do crime?
Problema 2
Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente. Se a temperatura do ambiente é de
e a temperatura do corpo cai, em 20 minutos de
a
, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para
?
a) Encontre
derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando e derive para obter
em termos de
.
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por na solução para a parte (a).
I) ;
b) Resolva a equação explicitamente isolando
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por
I)
Para a equação diferencial
, verifique que
é uma solução. (Suponha
0.) Em seguida, encontre a solução particular determinada pela condição inicial
quando
.
Encontre a solução explicita para a equação diferenciais.