Encontre a solução geral de cada equação diferencial dada:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos identificar os coeficientes da equação e aplicar a fórmula certa para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso, podemos reescrever a equação assim:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso acontece porque:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Calculando a integral do lado direito:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Então, temos:
Agora, vamos resolver para
multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
XXVIII)
Verifique se cada função dada é uma solução da equação diferencial.
$(b) .
$(b)
XLV)
Construa a tabela-verdade de cada uma das sentenças ©
.