Encontre a solução geral de cada equação diferencial dada:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos identificar os coeficientes da equação e aplicar a fórmula certa para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso, podemos reescrever a equação assim:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso acontece porque:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Calculando a integral do lado direito:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Então, temos:
Agora, vamos resolver para multiplicando ambos os lados por :
Simplificando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

XXVIII)
Verifique se cada função dada é uma solução da equação diferencial.
$(b) .
XLV)
Construa a tabela-verdade de cada uma das sentenças © .