Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f = f(x, y, z) dada por:
f(x, y, z) = x^2 - y^2 + 4*z^2 + 2*x*y - 4*y*z - 2*x - 6*z

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para estudar os máximos e mínimos locais da função . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar esses pontos extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Isso vai nos ajudar a localizar os pontos críticos, onde os máximos ou mínimos podem ocorrer.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:
  1.  →   → 
  2.  →   → 
Vamos substituir e na segunda equação:
Simplificando:
Agora, encontramos . Vamos encontrar e substituindo esse valor:
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela, precisamos analisar a matriz Hessiana da função. A Hessiana é uma matriz das segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar a definitude da matriz Hessiana para classificar o ponto crítico. Uma maneira de fazer isso é calcular os autovalores da matriz Hessiana.
Calculando os autovalores de :
Ao resolver o determinante , encontramos os autovalores. Sem entrar em detalhes técnicos, após os cálculos, constatamos que a Hessiana tem autovalores positivos e negativos, o que indica que a matriz não é definida positiva nem negativa.
Isso significa que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico é um ponto de sela da função , ou seja, não é nem um máximo local nem um mínimo local.

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