Estude com relação a máximos e mínimos locais a função dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para estudar os máximos e mínimos locais da função . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar esses pontos extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Isso vai nos ajudar a localizar os pontos críticos, onde os máximos ou mínimos podem ocorrer.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos igualar cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:
→ →
→ →
Vamos substituir e na segunda equação:
Simplificando:
Agora, encontramos . Vamos encontrar e substituindo esse valor:
Então, o ponto crítico é .
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela, precisamos analisar a matriz Hessiana da função. A Hessiana é uma matriz das segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar a definitude da matriz Hessiana para classificar o ponto crítico. Uma maneira de fazer isso é calcular os autovalores da matriz Hessiana.
Calculando os autovalores de :
Ao resolver o determinante , encontramos os autovalores. Sem entrar em detalhes técnicos, após os cálculos, constatamos que a Hessiana tem autovalores positivos e negativos, o que indica que a matriz não é definida positiva nem negativa.
Isso significa que o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico é um ponto de sela da função , ou seja, não é nem um máximo local nem um mínimo local.