Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (E.D.O.) de segunda ordem:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, precisamos:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
  2. Encontrar uma solução particular da equação não homogênea.
  3. Somar as duas soluções para obter a solução geral da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, encontramos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, a equação pode ser fatorada como:
Então, temos uma raiz real dupla:

Passo 4

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é , assumimos que a solução particular tem a forma:
Aqui, e , pois pode ser relacionado a .

Passo 6

Como a equação homogênea tem raízes complexas , a forma da solução particular deve ser multiplicada por para evitar soluções da equação homogênea. Assim, propomos:
Onde são coeficientes a serem determinados.

Passo 7

Derivamos e substituímos na equação original:
Após calcular as derivadas e igualar os coeficientes, resolvemos o sistema de equações para .

Passo 8

Após resolver o sistema, encontramos:
Portanto, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados: