Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (E.D.O.) de segunda ordem:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, precisamos:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
- Encontrar uma solução particular da equação não homogênea.
- Somar as duas soluções para obter a solução geral da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, encontramos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, a equação pode ser fatorada como:
Então, temos uma raiz real dupla:
Passo 4
Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é
, assumimos que a solução particular
tem a forma:
Aqui,
e
, pois
pode ser relacionado a
.
Passo 6
Como a equação homogênea tem raízes complexas
, a forma da solução particular deve ser multiplicada por
para evitar soluções da equação homogênea. Assim, propomos:
Onde
são coeficientes a serem determinados.
Passo 7
Derivamos
e substituímos na equação original:
Após calcular as derivadas e igualar os coeficientes, resolvemos o sistema de equações para
.
Passo 8
Após resolver o sistema, encontramos:
Portanto, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Determine a ordem de cada equação diferencial em questão e diga se a mesma é ou não uma equação linear.
Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados: