1. integrallang<= t e^t, ln trang<= d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar integrar cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira componente do vetor: . Para integrar essa função, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando a integral é o produto de duas funções.

Passo 3

Lembra o que é integração por partes? É baseado na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher e . Assim, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = dt e v = integral e^t dt = e^t :
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral t e^t dt = t e^t - integral e^t dt = t e^t - e^t + C
Simplificando:
integral t e^t dt = e^t(t - 1) + C

Passo 6

Agora, vamos para a segunda componente do vetor: . A integral de também requer integração por partes.

Passo 7

Novamente, usando integração por partes:
integral ln t , dt
Escolhemos e . Então, precisamos encontrar e .

Passo 8

Calculando du = 1t dt e v = integral dt = t :
Aplicamos a fórmula da integração por partes.

Passo 9

Aplicando a fórmula:
integral ln t , dt = t ln t - integral t cdot 1t dt = t ln t - integral 1 , dt = t ln t - t + C

Resposta

Juntando as integrais das duas componentes, temos:
integrallang<= t e^t, ln trang<= d t = lang<= e^t(t - 1) + C1, , t ln t - t + C2 rang<=
Onde e são constantes de integração.

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