Encontre a solução geral da EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você enviou. O enunciado pede para encontrar a solução geral de:
Esse tipo de equação é uma EDO de primeira ordem e linear, o que significa que podemos usar métodos específicos para resolver. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar a técnica do fator integrante para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão das EDOs lineares:
Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante (
), que é essencial para resolver EDOs lineares. A fórmula do fator integrante é:
Calculando a integral de
:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando:
A equação à esquerda agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
A integral à esquerda simplesmente dá:
Para resolver a integral à direita, fazemos uma substituição:
Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Então, temos:
Resposta
Isolando
, dividimos ambos os lados por
:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Mostre que a equação abaixo é homogênea e resolva-a.
Calcule a inversa da transformada de Laplace de
. (Experimente usar duas vezes a propriedade da transformada da integral):
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Calcule a inversa da transformada de Laplace de
usando a propriedade da integral da transformada: