Encontre a solução geral da EDO:
(x^2 + 1) dy/dx + 3 x y = 6 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você enviou. O enunciado pede para encontrar a solução geral de:
(x^2 + 1) dy/dx + 3 x y = 6 x
Esse tipo de equação é uma EDO de primeira ordem e linear, o que significa que podemos usar métodos específicos para resolver. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar a técnica do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão das EDOs lineares:
Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ), que é essencial para resolver EDOs lineares. A fórmula do fator integrante é:
Calculando a integral de :
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Substituindo:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por :
Simplificando:
A equação à esquerda agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar :
A integral à esquerda simplesmente dá:
Para resolver a integral à direita, fazemos uma substituição:
Seja , então , ou seja, . Substituindo:
Então, temos:

Resposta

Isolando , dividimos ambos os lados por :
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Mostre que a equação abaixo é homogênea e resolva-a.
d y/d x = (2 y - x)/(2 x - y)
Calcule a inversa da transformada de Laplace de F(s). (Experimente usar duas vezes a propriedade da transformada da integral):
F(s) = 1 / (s^2 * (s + 1)^2)
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y'' + 2y (y')^3 = 0, y(0) = 3 e y'(0) = 1/3
Calcule a inversa da transformada de Laplace de F(s) usando a propriedade da integral da transformada:
F(s) = s / (s^2 + 1)^2