Mostre que a equação abaixo é homogênea e resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial
é homogênea e depois resolver essa equação. Isso envolve entender o que é uma equação homogênea e como resolver esse tipo de equação diferencial. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de função homogênea e aplicar uma substituição que simplifica a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação é dita homogênea se o lado direito da equação pode ser escrito como uma função homogênea de grau zero em
e
. Isso significa que se multiplicarmos
e
por um mesmo fator, a função resultante permanece a mesma.
Passo 3
Vamos verificar se a função
é homogênea de grau zero. Para isso, substituímos
por
e
por
, onde
é uma constante.
Substituindo:
Como o fator
se candidata em cima e embaixo e cancela, a função é homogênea de grau zero.
Passo 4
Agora que estabelecemos que a equação é homogênea, vamos resolver. Para resolver equações homogêneas de grau zero, fazemos a substituição
, o que implica que
. Diferenciando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando o lado direito:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 7
Agora, vamos separar as variáveis:
Simplificando o lado esquerdo, notamos que
, então:
Podemos decompor essa fra��ão em frações parciais:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados:
As integrais ficam:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Podemos combinar os logaritmos do lado esquerdo:
Simplificando:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é outra constante.
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando por
:
Passo 11
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, onde
é uma constante arbitrária que pode ser determinada se uma condição inicial for fornecida.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Calcule a inversa da transformada de Laplace de
. (Experimente usar duas vezes a propriedade da transformada da integral):
Mostre que
onde
.
Encontre a solução geral da EDO:
Resolva o seguinte problema de valor inicial: