Mostre que a equação abaixo é homogênea e resolva-a.
d y/d x = (2 y - x)/(2 x - y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial
é homogênea e depois resolver essa equação. Isso envolve entender o que é uma equação homogênea e como resolver esse tipo de equação diferencial. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de função homogênea e aplicar uma substituição que simplifica a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação é dita homogênea se o lado direito da equação pode ser escrito como uma função homogênea de grau zero em e . Isso significa que se multiplicarmos e por um mesmo fator, a função resultante permanece a mesma.

Passo 3

Vamos verificar se a função
é homogênea de grau zero. Para isso, substituímos por e por , onde é uma constante.
Substituindo:
Como o fator se candidata em cima e embaixo e cancela, a função é homogênea de grau zero.

Passo 4

Agora que estabelecemos que a equação é homogênea, vamos resolver. Para resolver equações homogêneas de grau zero, fazemos a substituição , o que implica que . Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 5

Substituindo e na equação original:
Simplificando o lado direito:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos isolar :
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis:
Simplificando o lado esquerdo, notamos que , então:
Podemos decompor essa fra��ão em frações parciais:

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados:
As integrais ficam:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Podemos combinar os logaritmos do lado esquerdo:
Simplificando:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é outra constante.

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando por :

Passo 11

Essa é a solução geral da equação diferencial dada, onde é uma constante arbitrária que pode ser determinada se uma condição inicial for fornecida.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é uma constante real.

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