Calcule a inversa da transformada de Laplace de . (Experimente usar duas vezes a propriedade da transformada da integral):
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de . Isso está dentro da matéria de transformadas de Laplace, e para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais e algumas propriedades da transformada da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos quebrar a função em frações parciais. Queremos expressar na forma:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Passo 4
Vamos encontrar os valores de , , e substituindo valores estratégicos de .
Para :
Para :
Passo 5
Agora, expandimos a expressão geral e agrupamos os termos semelhantes:
Agrupando:
Comparando os coeficientes com o lado esquerdo da equação (que é 1), temos:
Já sabemos que e . Substituindo em :
E de :
Passo 6
Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição inicial:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado:
Resposta
Somando todos os termos, a transformada inversa de é: