Calcule a inversa da transformada de Laplace de F(s). (Experimente usar duas vezes a propriedade da transformada da integral):
F(s) = 1 / (s^2 * (s + 1)^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de . Isso está dentro da matéria de transformadas de Laplace, e para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais e algumas propriedades da transformada da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos quebrar a função em frações parciais. Queremos expressar na forma:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Vamos encontrar os valores de , , e substituindo valores estratégicos de .
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, expandimos a expressão geral e agrupamos os termos semelhantes:
Agrupando:
Comparando os coeficientes com o lado esquerdo da equação (que é 1), temos:
Já sabemos que e . Substituindo em :
E de :

Passo 6

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição inicial:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado:

Resposta

Somando todos os termos, a transformada inversa de é:

Exercícios relacionados

Mostre que L{t x''} = -2 s X(s) - s^2 X'(s) + x(0) onde L{x} = X(s).
Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
y^prime+y=integral0^t(t-tau) cos tau d tau
onde y(0)=0.
Mostre que a equação abaixo é homogênea e resolva-a.
d y/d x = (2 y - x)/(2 x - y)
Encontre a solução geral da EDO:
(x^2 + 1) dy/dx + 3 x y = 6 x