Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y'' + 2y (y')^3 = 0, y(0) = 3 e y'(0) = 1/3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, que lidam com como uma função muda. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de redução de ordem e integrar para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Como temos uma equação de segunda ordem, podemos fazer uma substituição para torná-la de primeira ordem. Vamos chamar , então . Assim, nossa equação fica:

Passo 3

Agora, temos uma equação que relaciona e . Vamos reescrevê-la para facilitar a integração:
Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que podemos tentar resolver separando as variáveis.

Passo 4

Vamos separar as variáveis e . Primeiro, reescrevendo:
Como , podemos substituir:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:

Passo 6

Calculando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Então:

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Agora, temos uma equação que podemos separar novamente para integrar:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes e . Quando , e .
Primeiro, usando :

Passo 10

Agora, usando quando :
Resolvendo para :

Passo 11

Agora que temos , voltamos para encontrar :

Passo 12

Substituindo e de volta na equação:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:

Passo 13

Rearranjando os termos:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada as condições iniciais.

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais é dada por:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral da EDO:
(x^2 + 1) dy/dx + 3 x y = 6 x
Mostre que a equação abaixo é homogênea e resolva-a.
d y/d x = (2 y - x)/(2 x - y)
Calcule a inversa da transformada de Laplace de F(s) usando a propriedade da integral da transformada:
F(s) = s / (s^2 + 1)^2
Resolva o problema de valor inicial (PVI) abaixo:
d/y = 6 x (y - 1)^(2 / 3), y(1) = -1