Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, que lidam com como uma função muda. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de redução de ordem e integrar para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Como temos uma equação de segunda ordem, podemos fazer uma substituição para torná-la de primeira ordem. Vamos chamar
, então
. Assim, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, temos uma equação que relaciona
e
. Vamos reescrevê-la para facilitar a integração:
Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que podemos tentar resolver separando as variáveis.
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
. Primeiro, reescrevendo:
Como
, podemos substituir:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Passo 6
Calculando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Então:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Agora, temos uma equação que podemos separar novamente para integrar:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
. Quando
,
e
.
Primeiro, usando
:
Passo 10
Agora, usando
quando
:
Resolvendo para
:
Passo 11
Agora que temos
, voltamos para encontrar
:
Passo 12
Substituindo
e
de volta na equação:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
Passo 13
Rearranjando os termos:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada as condições iniciais.
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais é dada por:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da EDO:
Mostre que a equação abaixo é homogênea e resolva-a.
Calcule a inversa da transformada de Laplace de
usando a propriedade da integral da transformada:
Resolva o problema de valor inicial (PVI) abaixo: